Измерения с однократными и многократными измерениями. Методы обработки результатов измерений.

Однократные измерения.

Большинство технических измерений являются однократными. В производственных условиях их точность может быть вполне приемлемой. При однократных измерениях процедура измерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точности средств измерений и условиях измерений погрешность не превзошла определенное значение. Так как такие измерения выполняют без повторений, то нельзя отделить случайные погрешности от систематических. Для оценки погрешность дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин.

Однократные измерения возможны при следующих условиях:

- объем априорной информации об объекте измерений такой, что однократные измерения не вызывают сомнений;

- изучен метод измерения, его погрешности заранее устранены, либо оценены;

- метрологические характеристики средств измерений соответствуют установленным нормам.

При однократных измерениях возможно образование инструментальной, методической, субъективной погрешностей. Если последние две погрешности не превышают 15% погрешности средства измерений, то погрешность измерения принимают равной погрешности используемого средства измерений.

Однократный отсчет показаний может содержать промах. Во избежание промаха рекомендуется повторять измерения 2-3- раза, приняв за результат среднее арифметическое.

В простейшем случае, если влияющие величины соответствуют нормальной области значений, погрешность результата прямого однократного измерения равна основной погрешности средства измерений Δ, определяемой по нормативно-технической документации. Тогда результат измерения записывают в виде:

А = x_СИ ± Δ_СИ, Р, (10)

где x_СИ– результат (среднее арифметическое значение из 2-3 единичных измерений), зафиксированный средством измерений.

Доверительная вероятность Р, как правило, составляет 0,95. При проведении измерений в условиях, отличающихся от нормальных, необходимо определять и учитывать пределы дополнительных погрешностей, вызванных имеющимися отличиями.

Пример. Произведены измерения длины L = 50 ± 0,3 ммстержня штангенциркулем ШЦ-П, основная погрешность которого составляет Δ_СИ = ± 0,05 мм. Получены следующие результаты x₁ = 50,10 мм; x₂= 50,20 мм; x₃ = 50,15 мм.Записать окончательный результат измерений в стандартной форме.

Среднее арифметическое измеряемого размера:  = 50,15.

Результат измерения запишем в виде: А = 50,15 ± 0,05; 0,95.

Многократные измерения.

Основная задача обработки многократных измерений заключается в нахождении результата измерения физической величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное (действительное) значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из n(n>4) результатов единичных измерений x₁, x₂, …, x_n, из которых исключены известныесистематические погрешности. Число измерений зависит от требований точности получаемого результата и от реальной возможности выполнения повторных измерений.

Последовательность обработки результатов многократных измерений включает в себя ряд этапов:

1) исключение из результатов измерений известных систематических погрешностей;

2) вычисление среднего арифметического значения  измеряемой величины из n единичных результатов;

3) вычисление среднего квадратического отклонения единичных измерений в ряду измерений σ_x;

4) исключение промахов (грубых погрешностей измерений);

5) вычисление среднего квадратического отклонения результата измерений среднего арифметического ;

6) проверку гипотезы о принадлежности результатовизмерений нормальному закону;

7) вычисление доверительных границ случайной погрешности измерений        ±ε;

8) вычисление доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерений ±θ;

9) вычисление доверительных границ погрешности результата измерений ±Δ;

10) представление результата измерения в виде А =  ± ΔР, где Р – доверительная вероятность.

Известные систематические погрешности исключают введением в результат измерений соответствующих поправок, численно равным систематическим погрешностям, но противоположным им по знаку. Поправку вводят в результаты единичных измерений, а если известно, что результаты всех единичных измерений имеют одинаковые систематические погрешности, ее исключают из среднего арифметического значения измеряемой величины.

Среднее арифметическое значение измеряемой величины из n единичных результатов рассчитывают по формуле:

Для определения среднего квадратическогоотклонения (СКО) единичных измеренийв ряду измерений  используют формулу:

Промахи (грубые погрешности) могут сильно исказить результат измерений, поэтому их исключение из ряда измерений обязательно.

Среднее квадратическоеотклонение результата измерений (СКО)среднего арифметического значения σ_xвычисляют по формуле:

Гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному закону проверяют с помощью специальных критериев, если число измерений n > 50; составной критерий используют, если 15 < n < 50. При n≤15 гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерений не проверяют, предполагая, что вид закона распределения известен заранее. Это, как правило, нормальный закон распределения.

При заданном значении доверительной вероятности Р и числе единичных измерений n по таблицам функций определяют значения параметров.

Рассмотрим определение доверительного интервала результата измерений при отсутствии систематической погрешности.

Вероятность того, что истинное значение x измеряемой величины находится в пределах от x_н до x_в:

                                     (14)

где q - уровень значимости.

Здесь Р называют доверительной вероятностью, а интервал от x_н до x_в– доверительным интервалом результатов измерений.

Будем полагать, что значение случайной величины xподчиняется нормальному закону распределения, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки  и определяется из таблиц значений интегральной функции Лапласа Φ₀(z):

                                 (15)

где - аргумент функции Лапласа Φ₀(z), отвечающий вероятности Р/2;

 – доверительные границы погрешности результата измерений.

Полученный доверительный интервал определяется по формуле:

(16)

Вычисление доверительных границ производится, как правило, с доверительной вероятностью Р = 0,90; 0,95 или 0,99.

Пример. При многократном измерении диаметра вала равного 30 мм микрометром МК25-1 получены следующие результаты:

29,94 29,95 29,96 29,97 29,97 29,98 29,98.

Не учтенная систематическая погрешность, вызванная отклонением температуры вала от нормальной, θ = 2 мкм.

Определить, является ли результат x₁ = 29,94 ммпромахом, найти и записать в стандартной форме результат измерений (доверительная вероятность Р = 0,95).

1. Определим среднее арифметическое значение измеряемой величины, мм:

2. Рассчитаем СКО единичных измерений, мм:

3. Так как число измерений n< 10,а закон распределения результатов единичных измерений неизвестен, промах вычислим с использованием критерия Романовского:

Для ближайшего меньшего n = 6 и q = 0,05(при Р = 0,95) по таблице Романовского найдем β_т = 2,10, т.е. β < β_ти результат x₁ = 29,94 промахом не является.

Таблица 1. Значения .

4. Определим СКО результата измерений среднего арифметического значения, мм:

5. Для заданной вероятности Р = 0,95 и числа измерений n = 7по таблице коэффициентов Стьюдента (приК = 6) установим значение коэффициента Стьюдента t_p = 2,45.

Таблица 2. Критерий Стьюдента  (квантили Стьюдента).

Число степеней свободы k
Довери-тельная вероят- ностьp	3	4	5	6	8	10	12	18	22	30	40	60	120
0,90	2,35	2,13	2,01	1,94	1,86	1,81	1,78	1,73	1,72	1,70	1,68	1,67	1,66	1,64
0,95	3,18	2,78	2,57	2,45	2,31	2,23	2,18	2,10	2,07	2,04	2,02	2,00	1,98	1,96
0,99	5,84	4,60	4,03	3,71	3,36	3,17	3,06	2,98	2,82	2,75	2,70	2,86	2,62	2,58

Тогда доверительные границы случайной погрешности результата измерений, мм:

ε = ± 2,45·0,0057 = 0,013965 = ± 0,014.

6. Результат измерений запишем в виде: А = 29,964 ± 0,014, Р = 0,95.