Обработка результатов измерений.

Целью обработки результатов измерений (наблюдений) является установление значенияизмеряемой величины и оценка погрешности полученного результата измерения. Методы обработки результатов наблюдений могут быть разными
в зависимости от предварительной информации, которой располагает экспериментатор об источниках и характере проявления погрешностей, условиях эксперимента, свойствах используемых средств измерений, от вида измерений, числа выполненных наблюдений и других причин.

Погрешность измерения проявляет себя как случайная величина. Следовательно, и результаты отдельных измерений одного и того же значения измеряемой величины случайны. Если систематическая погрешность при измерении этой величины постоянна, что является весьма распространенным случаем на практике, то вид закона распределения отдельных результатов измерения определяется видом закона распределенияслучайных погрешностей. При этом математическое ожидание этого закона распределения смещено с истинного значения измеряемой величины на систематическую погрешность, а дисперсия этого закона распределения равна дисперсии случайной составляющей погрешности. Отсюда следует, что для получения оценки измеряемой величины, максимально близкой к истинному значению, необходимо по экспериментальным данным найти оценку математического ожидания отдельных результатов наблюдений, оценить
систематическую погрешность и исключить ее из оценки математического ожидания. В более общем случае, когда отдельные результаты измерений содержат разные систематические погрешности, необходимо оценить каждую из этих погрешностей,
исключив ее из соответствующего результата измерения и получив таким образом ряд наблюдений, не содержащих систематических погрешностей, и на основании этого оценить математическое ожидание.

Точность оценки математического ожидания ряда наблюдений зависит от количества выполненных измерений и от дисперсии случайной составляющей погрешности, Поэтому по экспериментальным данным приходится оценивать не только математическое ожидание, но и дисперсию.

При обработке результатов наблюдений необходимо пользоваться следующими основными правилами, разработанными в теории вероятностей и математической статистике:

1. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих величин:

       M[x ± y ± z ±…]=M [х] ± М[у] ± М[z] ± ...(1)

2. Постоянное (неслучайное) число можно выносить за знак математического ожидания:

М[ах]= аМ[х].                                                   (2)

3. Математическое ожидание постоянного (неслучайного) числа равно этому числу:

М[а] = а.                                                         (3)

4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин определяется выражением:

                    D[x ± y ± z ±…]=D[x] + D[у] + D[z]+ ... +

+ 2 , (4)

гдеr_xy, r_xz, r_yz,…- коэффициенты корреляции соответствующих пар xy, xz, yz,…случайных величин, входящих в рассматриваемую сумму (разность) этих величин; знак «+» или «-» перед коэффициентами корреляции определяется знаком произведения соответствующей пары xy, xz, yz,…Если все величины, входящие
в сумму (разность), независимы, то для любой пары коэффициент корреляции равен нулю и, следовательно, дисперсия суммы (разности) независимых случайных величии равна сумме их дисперсий.

5. Постоянное (неслучайное) число можно выносить за знак
дисперсии, возведя это число в квадрат:

D[ах]=а²D[x]. (5)

6. Дисперсия постоянного (неслучайного) числа равна нулю:

D[а] = 0.                                                      (6)

7. Оценкой математического ожидания случайной величины х по результатам отдельных наблюдений x₁, x₂, …, x_n этой величины является среднее арифметическое:

где n – число наблюдений величины x.

При неограниченно большом числе наблюдений  стремится к математическому ожиданию М [x].

При ограниченном числе n, что всегда имеет место на практике, является случайной величиной, основные характеристики которой (математическое ожидание и дисперсия) можно получить на основании сформулированных выше правил:

Последнее выражение справедливо при независимости x₁, x₂, …, x_n.

8. Оценку дисперсии случайной величины х по результатам отдельных наблюдений x₁, x₂, …, x_nэтой величины можно найти по формуле:

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины х равна со знаком «плюс».

При неограниченно большом числе наблюдений оценки S²[х]
иS[х] стремятся, соответственно, к σ²[х] иσ[x].При ограниченном пэти оценки являются случайными величинами.

Сформулированные правила позволяют оценить результат измерения и дисперсию случайной составляющей погрешности.

Что касается систематической погрешности, то следует иметь в виду, что обнаружить н оценить ее в общем случае непросто, особенно если причины возникновения этой погрешности неизвестны. Например, постоянная систематическая погрешность от эксперимента к эксперименту может не проявляться, оставаясь не обнаруженной. Для обнаружения систематической погрешности, природа которой неизвестна, необходима постановка специального эксперимента для измерения искомой величины того же размера с использованием более точных методов и средств измерений. Сравнение результатов измерения x₁иx₂,полученных в первом и во втором (более точном) эксперименте, позволяет оценить систематическую погрешность первого эксперимента. Если результат измерения x₁ содержит только постоянную систематическую погрешность, то она может быть оценена по однократным результатам измерения x₁и x₂как Погрешность этой оценки определяется погрешностью результата измерения x₂.

Если результат измеренияx₁кроме систематической погрешности содержит и случайную составляющую погрешности, то Δx=x₁ - x₂- случайная величина, математическим ожиданиемкоторой и является систематическая погрешность
Δx_c=М [Δx]=М[x₁]-М [x₂].

Погрешность этой оценки определяется погрешностью оценок
математических ожиданий результатов измерения в первом и втором экспериментах.

Если причины возникновения систематической погрешности известны, то в первую очередь необходимо постараться исключить или уменьшить влияние этих причин. При невозможности устранения источников погрешности необходимо на основании теоретического анализа или путем постановки специальных экспериментов получить количественные оценки систематических
погрешностей. Например, путем предварительной поверки используемых средств измерении можно выявить систематическую погрешность этих средствпри разных значениях измеряемой величины. Анализируя влияние внешних факторов, можно составить таблицы или графики зависимости систематической погрешности от внешних факторов. В этом случае для введения поправки
на систематическую погрешность необходимо в процессе измерения контролировать значение соответствующего влияющего внешнего фактора.

Существуют приемы, позволяющие путем постановки специальных экспериментов исключить систематическую погрешность, не производя ее количественной оценки. Наиболее распространены следующие способы исключения из результата измеренияпостоянной систематической погрешности: замещение, компенсация погрешности по знаку, противопоставление.

При способе замещения сначала получают результат измерения x₁при подключенном объекте исследования. Затем вместообъекта исследования подключают регулируемую меру, изменением параметра которой добиваются точно такого же результата измерения x₁. За окончательный результат измерения принимают значение меры x₀.

Способ компенсации погрешности по знаку предполагает измерение одной и той же величины два раза при изменении условий эксперимента второго измерения таким образом, чтобы систематическая погрешность проявлялась в нем с противоположным знаком. Примеров этого способа является исключение погрешности, обусловленной влиянием постоянного внешнего магнитного поля. Результат первого измерения x₁получают при произвольном положении прибора; результат второго измерения x₂получают, изменив положение прибора в горизонтальной плоскости на180°. Так как оба результата измерения искажены одной и той же систематической погрешностью, но с разными знаками, то сред-
нее значение этих результатов x = (x₁ + x₂)/2не содержит систематической погрешности, обусловленной влиянием внешнего магнитного поля.

Способ противопоставления также предполагает двукратное измерение одной и той же величины. Условия экспериментов должны различаться таким образом, чтобы по известным закономерностям возникновения систематической погрешности ее можно было исключить. Примером может быть измерение сопротивления R_xпо схеме моста постоянного тока. Результат измерения R_x= R₂R₃/ R₄может содержать систематическую погрешность вследствие отличия сопротивлений резисторов R₃и R₄от их номинальных значений. Эту погрешность можно исключить, если при тех же резисторах R₃и R₄поменять местами плечи R_xи R₂и снова уравновесить мост резистором R₂, получив выражение R_x= R₄/ R₃. где - сопротивление плеча R₂при новом равновесии моста. Исключив из полученных выражений отношение плеч R₃/R₄и, следовательно, систематическую погрешность, обусловленную неточностъю этого отношения, получим .

Если систематическую погрешность удалось оценить, то ее сразу нужно исключить из результата измерения. При необходимости следует оценить погрешность найденной оценки систематической погрешности, что позволит установить границы неисключенного остатка систематической погрешности. Если систематическую погрешность оценить не удается, то для нее также нужно
оценить границы возможных ее значений.