Непараметрические критерии.

Непараметрические критерии сравнивают сами значения выборок (варианты), они используют ранги.

Ранг  -- это место по возрастанию.

Если встречается несколько одинаковых значений, то их ранг = среднему арифметическому рангов. Число рангов=n -- количество значений для которых расставляем ранги.

Пример:

X	Ранг
5	7
3	4
2	2,5	Ранг «2»=
5	7	Ранг «5»=
8	9
9	10
5	7
1	1
2	2,5
4	5
N=10

Критерий Вилкоксона.

Работает с так называемыми сопряжёнными вариантами, когда варианты из двух выборок измеряются парами (например, значению x_i до воздействия препарата соответствует y_i после воздействия).

Итак, имеем две выборки одинакового объёма n₁=n₂=n :

X{x₁, x₂, … x_n}– контроль

Y{y₁, y₂, … y_n}– опыт

Нас интересует достоверно ли различие между выборками, то есть принадлежат ли XиY одной генеральной совокупности для заданного уровня значимости ά.

Алгоритм проверки статистической гипотезы:

1). Н₀: различие между выборками не достоверно.

2). Вычислить разности: . Если =0, то i-ю строку вычеркнуть и n=n-k -- количество вычеркнутых строк.

3). Расставить ранги для разностей, знак разности не учитываем. То есть расставляем ранги для .

4). Подсчитать суммы рангов, учитывая знаки разностей:

R⁺ -- сумма рангов для >0

R^- -- сумма рангов для <0

5). , то есть выбираем меньшее из двух чисел.

6).Определить по таблице критерия Вилкоксона для α и числа степеней свободы=n Т_крит.

7). Если Т_эксп ≤Т_крит то Н₀ отвергаем.

если Т_эксп>Т_крит то Н₀ принимаем.

8). Записать вывод.

Пояснения: считается, что если различия между выборками не достоверны, (то есть верна гипотеза Н₀), то R⁺и R^-не сильно отличаются друг от друга. В таблице содержатся критические значения для меньшей суммы рангов и если Т_эксп<Т_крит ,

то различия велики и гипотезу Н₀ следует отвергнуть.

Пример: Достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05?                                   Н₀: Различия между выборками не достоверны.

№	Контроль Х	Опыт Y	Разности	Ранг разности
1	32	21	11	7
2	31	19	12	8
3	29	27	2	2,5
4	28	29	-1	1
5	30	30	0
6	27	29	-2	2,5
7	29	22	7	6
8	33	27	6	5
9	26	21	5	4

n=9-1=8          R^-=1+2,5=3,5  R⁺=7+8+2,5+6+5+4=32,5

Следовательно Т_эксп=3,5.

По таблице для n=8 и α=0,05 находим: Т_крит=4.

Н₀ отвергаем.

Вывод:Различия между выборками достоверны.

Критерий Манна-Уитни.

Этот непараметрический критерий можно использовать для двух выборок как одинаковых, так и разных объёмов. Объём меньшей выборки обозначают n₁.

То есть, если

Обе выборки объединяют в один ряд и ранги расставляют для всех n₁+ n₂ чисел.

Алгоритм проверки статистической гипотезы:

1). Н₀: различие между выборками не достоверно.

2). Расставить ранги для всех n₁+ n₂  значений.

3). Вычислить:

где -- сумма рангов для первой выборки,

 -- сумма рангов для второй выборки.

4) .

5).

 а). Если ,то в таблице для  по  и  находим число -- это вероятность Р, которая позволяет судить о правомерности гипотезы Н₀.

если  принимаем,

если отвергаем. Где α -- заданный уровень значимости.

в). Если ,то существует другая таблица. В ней для и  находим .

Если U_эксп ≤U_крит то Н₀ отвергаем.

если U_эксп˃U_крит то Н₀ принимаем.

6). Записать вывод.

Пример 1: даны две выборки. По критерию Манна-Уитни проверить, достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05?

Н₀: Различия между выборками не достоверны.

n₁+ n₂ =4+5=9

R₁=1+3+4+6=14                      

R₂=2+5+7+8+9=31                 

В таблице для n₂=5,находим для n₁=4 и

Н₀ принимаем.

Вывод:Различия между выборками не достоверны.

Пример 2: Изучалось действие различных лекарственных препаратов на двух группах животных. Получены следующие результаты:

По критерию Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05 выяснить, значима ли разница между действием этих препаратов.

Н₀: Различия между выборками не достоверны, то есть разница между действием препаратов не значима.

1-ая группа	Ранг	2-ая группа	Ранг
1	1	3	5
2	2,5	3	5
2	2,5	4	8
3	5	4	8
4	8	5	10,5
5	10,5	8	12
		9	13
		10	14
		12	15

По таблице критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05.

Н₀ отвергаем.

Вывод: разница между действием препаратов значима.

Контрольные вопросы.

Критерий Фишера.

Критерий Стьюдента.

Критерий Вилкоксона.

Критерий Манна-Уитни..