Сравнение средних значений двух выборок.

Параметрические критерии.

Критерий Фишера.

       Этот параметрический критерий служит для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей.

При малых объемах выборок применение критерия Стьюдента может быть корректным только при условии равенства дисперсий. Поэтому прежде чем проводить проверку статистической гипотезы по критерию Стьюдента, необходимо убедиться в возможности его использования.

Экспериментальное значение критерия вычисляется по формуле:

где n₁, n₂ - объемы выборок, - числа степеней свободы для этих выборок.

Сравниваем  с табличным (критическим) значением, которое находим в таблице критерия Фишера для заданного уровня значимости ά и числа степеней свободы n₁ и n_2.

При пользовании таблицами следует обратить внимание, что число степеней свободы для выборки с большей по величине дисперсией выбирается как номер столбца таблицы, а для меньшей по величине дисперсии как номер строки таблицы.

Если Н₀ принимаем.

Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей можно считать равными.

Если Н₀ отвергаем.

Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей не равны.

Пример. Изучали влияние пищевых добавок на массу тела лабораторных животных. Опыт проводился на двух группах животных: опытной и контрольной. В опытной группе животные получали пищевую добавку к рациону. За время опыта прибавки в весе составили в граммах:

ДЛЯ

Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей можно считать равными.

Таблица критерия Фишера (a=0,05)

Критерий Стьюдента.

Параметрический критерий , который используют для проверки статистических гипотез по выборкам, распределённым по нормальному закону Гаусса.

Используется:

1). Для определения достоверности среднего арифметического, полученного для одной выборки.

2). Для определения достоверности различия средних арифметических двух выборок.

3). Для определения достоверности корреляции двух случайных величин.

Проверка достоверности полученного среднего арифметического.

Определяется, существенны ли различия между  -- среднего значения для выборки и М[X] -- мат. ожидания генеральной совокупности.

Н₀: М[X]=0, то есть не достоверно.

где ошибка среднего арифм-го.

Число степеней свободы

Находим из таблицы критерия Стьюдента для  и заданного ά,

если Н₀ принимаем.    Вывод: недостоверно

если Н₀ отвергаем.    Вывод: достоверно

Пример:

Измерена некоторая случайная величина Х. Получены следующие результаты: 15,18,13,14

По критерию Стьюдента проверить, достоверно ли полученное значение среднего арифметического. P_D=0,95.

Выдвигаем нулевую гипотезу:

Находим из таблицы критерия Стьюдента для и

так как Н₀ отвергаем.    Вывод: достоверно

Сравнение средних значений двух выборок.

Имеем две выборочные совокупности:

X{x₁, x₂, … x_n1}иY{y₁, y₂, … y_n2}

n₁ –объём первой выборки, n₂– объём второй выборки.

Н ₀: М[X]=M[Y] или M[X]-M[Y]=0, т.е. обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, то есть различия между выборками не достоверны. Задаём уровень значимости ά.

ошибка разности средних арифметических .

Число степеней свободы

Если ,   

Находим из таблицы критерия Стьюдента для  и заданного ά, .

если Н₀ принимаем

Вывод: обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, различия между выборками не достоверны.

если Н₀ отвергаем

Вывод: обе выборки не принадлежат одной генеральной совокупности, различия между выборками достоверны.

Пример:

 Исследовалось влияние лекарственного препарата на величину некоторого параметра.

По критерию Стьюдента для уровня значимости ά=0,05 проверить , эффективен ли препарат.

Выдвигаем нулевую гипотезу:

=

Находим из таблицы критерия Стьюдента для  и заданного ά=0,05,

Вывод: