Случай 1.Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

 ,          (1)

Этот случай соответствует сигналам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию:

,           (2)

где  - характеристический полином замкнутой системы; - характеристический полином разомкнутой системы.

Подставим в (2) , получим . По критерию Михайлова изменение аргумента при  равно , т.к. предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента при  также равнялось . Отсюда следует, что изменение аргумента  должно быть равно

.

Это значит, что годограф  не должен охватывать начало координат (см. рис. 8 и рис. 9).

Вернемся теперь к функции, , которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 10 и рис 11).

Формулировка частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

Первый график (рис. 9) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Второй график (рис. 10) соответствует случаю, когда уменьшение к может привести к неустойчивости замкнутой системы (с уменьшением к меняются радиусы-векторы всех точек характеристики).

Годографы неустойчивых систем.

Имея в виду очертания амплитудно-фазовых характеристик, к сформулированному критерию устойчивости добавим разъяснения, что значит «не охватывает точки с координатами ».

Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки  должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).

Случай 2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Характеристический полином разомкнутой системы  имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, .

Это соответствует системам с астатизмом порядка . Рассмотрим случай, когда , тогда . Плоскость корней  имеет вид, примерно, как показано на рисунке.

Подстановка при  означает перемещение вдоль оси  от точки 0 вверх. При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса , тогда ; . И при  получим ; , где  при .Следовательно, точки  соответствует окружности бесконечно большого радиуса в плоскости корней . Поскольку при этом все корни  остались слева, то формулировка критерия устойчивости осталась такой же как и для случая устойчивости разомкнутой системы (случай 1), т.е. годограф Найквиста не должен охватывать точку .

В случае  аналогично получается та же формулировка критерия – не охват точки  как показано на рисунках

Для сложных очертаний годографа Найквиста в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при .

Случай 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии.

Пусть характеристический многочлен  разомкнутой системы имеет  корней с положительной действительной частью. Тогда функция

при замене на , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента

при изменении частоты  от 0 до . Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой цепи охватила точку  против часовой стрелки на угол , где  - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой системы. Другими словами, левее точки  разность между положительными и отрицательными переходами годографа Найквиста через ось абсцисс должна равняться .

Задание:

 Задания выполняются по вариантам из курсовой работы