Формулировка критерия Михайлова.

Лабораторная работа № 8. Частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста).

Время выполнения работы: 2 часа

Цель работы: изучить частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста) и научиться их использовать.

Содержание:

· Цель работы

· Краткие сведения из теории

· Критерий устойчивости Михайлова

· Критерий устойчивости Найквиста.

· Задание

· Отчет по лабораторной работе

· Контрольные вопросы

Краткие сведения из теории:

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по их частотным характеристикам. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а так же имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

Мы рассмотрим два частотных критерия устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям и используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Рассмотрим замкнутую систему управления структурная схема которой имеет вид

Пусть передаточная функция разомкнутой системы равна

и пусть  – степень полинома ,  – степень полинома .

Передаточная функция замкнутой системы

.

Полином - имеем степень -степень полинома

.

Составим характеристический полином замкнутой системы

.        (1)

Если подставим в , то получим комплексное число

.

В последнем равенстве выделим действительную и мнимую части комплексного числа:

,            (2)

где

.       (3)

На плоскости  и  комплексное число  изображается вектором  (см. рис. 2). При из изменении частоты  от 0 до  вектор изменяется по величине и направлению. Конец вектора  в комплексной плоскости описывает некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова.

Формулировка критерия Михайлова.

Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно чтобы годограф Михайлова при изменении частоты  от 0 до , начинался при  на вещественной положительной полуоси, обходил последовательно  квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где  - порядок характеристического полинома.

Заметим, что для устойчивых систем автоматического управления годограф Михайлова начинается при  на вещественной положительной полуоси, поскольку, поскольку  все коэффициенты характеристического полинома положительны и .

Кроме того, для устойчивых систем фаза  с ростом частоты  должна возрастать монотонно, т.е. вектор  должен поворачиваться только против стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые знаки фазы элементарных векторов ,являющиеся слагаемыми вектора .

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда плавную спиралевидную форму, причём конец её ( ) уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора  оказывается меньшим, чем .

Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем:

Критерий устойчивости Найквиста.

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутых систем управления. Он дает правила, согласно которых по виду частотных характеристик разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы.