Критерий устойчивости Гурвица

Лабораторная работа № 7. Алгебраические критерии устойчивости (Гурвица и Рауса).

Время выполнения работы: 2 часа

Цель работы: изучить алгебраические критерии устойчивости (Гурвица и Рауса) и научиться их использовать.

Содержание:

· Цель работы

· Краткие сведения из теории:

· Критерий устойчивости Гурвица

· Критерий устойчивости Рауса

· Задание:

· Отчет по лабораторной работе:

· Контрольные вопросы

Краткие сведения из теории:

Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения очень сложен, особенно для уравнений высоких степеней. Поэтому в инженерной практике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней.

Эти правила называются критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, является ли система устойчивой или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения и частотные (Михайлова и Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик. Частотные критерии позволяют оценивать устойчивость системы, даже если в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики, а уравнения динамики неизвестны.

Критерий устойчивости Гурвица

Этот критерий позволяет сказать, где на комплексной плоскости расположены корни характеристического уравнения.

Пусть имеем характеристическое уравнение:

Сначала строим главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от С₁ до С_n в порядке возрастания индекса.

Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n (где n – порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляются нули.

Далее выделяем в главном определителе Гурвица главные диагональные миноры и получаем определители Гурвица низшего порядка. Номер определителя зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.

В итоге проверяется n определителей, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица.

Определение: чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента С_О характеристического уравнения, т.е. были положительными, так как всегда С_О  можно выбрать положительным.

Т.е. при С_О > 0, >0,

Условия устойчивости

1. Система первого порядка

Характеристическое уравнение первого порядка:

Система будет устойчива, если все коэффициенты уравнения положительны.

2. Система второго порядка

Характеристическое уравнение:

Определитель

Вывод: для устойчивой системы второго порядка все коэффициенты характеристического уравнения должны иметь один и тот же знак.

3. Система третьего порядка. Характеристическое уравнение:

Главный определитель:

По Гурвицу

Минор второго порядка:

Воспользуемся правилом Саррюса и определим:

Чтобы условие выполнялось, нужно, чтобы C₃>0 и чтобы

Вывод: чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы:

4. Система четвертого порядка

Полагая, что знаки выбраны так, чтобы

Главный определитель

Так как , то

Чтобы , нужно, чтобы

Чтобы , нужно, чтобы

Раскроем определитель . Для этого разложим его на адьюнкты первой строки:

То есть,

Или

Вывод: чтобы система четвертого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы соблюдались следующие условия:

Сложности использования критерия Гурвица возрастают с ростом порядка полинома. Считается, что эффективное использование критерия   Гурвица возможно при n < 4, так как при больших размерностях число проверяемых условий стремительно возрастает.