Метод понижения порядка производной

Лабораторная работа № 6. Построение и преобразования структурных схем в Simulink.

Время выполнения работы: 4 часа

Цель лабораторной работы: ознакомление с динамическими и частотными характеристиками систем автоматического управления (САУ) и получение навыков исследования линейных динамических моделей с использованием пакета прикладных программ SIMULINK системы MatLab 6.

Содержание

· Общие указания к выполнению лабораторной работы

· Цель работы

· Краткие сведения из теории

· Методика выполнения работы

· Методы контроля правильности набора схем и установки коэффициентов

· Задание 1

· Задание 2

·

· Отчет по лабораторной работе

· Контрольные вопросы 

· Варианты заданий 

· Литература

Общие указания к выполнению лабораторной работы

Лабораторные работы выполняются на персональных компьютерах в операционной среде Windows с установленной системой MatLab 6.х и пакетом прикладных программ SIMULINK

Краткие  сведения из теории

Постановка задачи

Большинство объектов управления могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. На примере объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, рассмотрим все этапы моделирования и анализа свойств объекта.

Возьмем, к примеру, объект, у которого входным воздействием является расход пара кг/час, а выходная величина – температура

Рис.1. Структурная схема системы автоматического управления

Допустим, что в результате экспериментов по исследованию динамики объекта получено следующее дифференциальное уравнение, описывающее изменение y(t) в зависимости от изменения возмущающей функции :

 (1)

Возмущающая функция  должна быть известной функцией времени.

Должны быть заданы также начальные условия.

Предположим, что в начальный момент времени температура объекта была равна                                                                                           (2)

и происходило остывание со скоростью

                                                                                                     (3)

Таким образом, на ЭВМ необходимо решить дифференциальное уравнение (1), при начальных условиях (2) и (3).

Метод понижения порядка производной

Решить дифференциальное уравнение – означает получить функцию y(t), меняющуюся во времени. Для составления структурной схемы решения применим метод понижения порядка производной, который сводится к пяти этапам.

Этап1. Разрешим дифференциальное уравнение (1) относительно высшей производной:

(4)

Этап 2. Предположив, что в точке А известно в любой момент времени, с помощью интегрирующего звена и с учетом начальных условий получим в точке В значение . Затем, с помощью еще одного интегратора, в точке С получим значение искомой функции y(t).

Рис.2.

Этап 3. Посмотрите теперь на правую часть уравнения (4). Она представляет собой сумму трех функций времени, взятых с постоянными коэффициентами:

Допустим, рис.3, что нам известны функции y(t) в точке С₁ и  в точке В₁. Теперь, просуммировав их с коэффициентами, соответствующими правой части (4) получим вторую производную . Таким образом, на выходе сумматора, в точке А₁, будет величина , известная в любой момент времени.

Рис.3

Этап.4. Равенство (4), которое происходит из физической сущности моделируемого объекта требует, чтобы оно (это равенство) выполнялось в любой момент времени t. Реализовать это требование легко – достаточно замкнуть схемы, показанные на рис.2 и рис.3. При этом сольются точки А и А₁, В и В₁, С и С₁. (рис.4).

Рис.4.

Этап 5. Установить начальные условия, которые определяют единственность решения дифференциального уравнения.

Инструментарий SIMULINK пакета MatLab как раз и позволяет моделировать и исследовать поведение систем, описываемых любыми (линейными, линейными с переменными и нелинейными) дифференциальными уравнениями.

Единственное требование к дифференциальным уравнениям – они должны быть представимы в виде структурных схем, подобных указанной на рис.4.