Способы описания дискретных систем

Лабораторная работа 4

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

(4 часа)

Цель работы: изучение общих принципов проектирования цифровых фильтров.

Задачи работы:

1. Познакомиться со способами описания дискретных систем

2. Раассмотреть этапы разработки фильтра

Оглавление

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.. 1

1.1 Введение. 1

1.2. Сущность фильтрации. 3

1.3. Способы описания дискретных систем. 4

1.4. Типы цифровых фильтров. Выбор между ними. 6

1.5. Этапы разработки фильтра. 7

1.6. Дискретная фильтрация в MATLAB.. 11

1.7. Разработка фильтра с помощью FDATool 14

2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ.. 18

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.. 19

4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 21

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Введение

По сути, фильтр – это система или сеть, избирательно меняющая форму сигнала (АЧХ или ФЧХ). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или снижение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сигналов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.

    Как будет показано позже, цифровой фильтр – это математический алгоритм, реализованный на аппаратном и/или программном уровне, который с заданной целью действует на входной и генерирует выходной сигнал. Термином «цифровой фильтр» обозначают определенную аппаратную или программную процедуру, реализацию алгоритма фильтрации. В цифровых фильтрах часто используются оцифрованные аналоговые сигналы или просто хранящиеся в памяти компьютера числа, представляющие некоторые переменные.

По сравнению с аналоговыми фильтрами цифровые предпочтительны во множестве областей (например, сжатие данных, биомедицинская обработка сигналов, обработка речи, обработка изображений, передача данных, цифровое аудио, телефонное эхоподавление), так как обладают рядом преимуществ, часть из которых описана ниже.

- Цифровые фильтры могут иметь характеристики, получить которые на аналоговых фильтрах невозможно, например, действительно линейную фазовую характеристику

- В отличие от аналоговых, производительность цифровых фильтров не зависит от изменений среды, например, от колебаний температуры. Таким образом, цифровые фильтры не требуют периодической калибровки.

- Если фильтр построен с использованием программируемого процессора, его частотная характеристика может настраиваться автоматически (поэтому такие процессоры широко применяются в адаптивных фильтрах).

- Один цифровой фильтр может обрабатывать несколько входных сигналов или каналов без дублирования аппаратных блоков.

- Как фильтрованные, так и нефильтрованные данные можно сохранить для последующего использования.

- Можно легко использовать достижения из области технологий СБИС и получат небольшие цифровые фильтры с пониженной потребляемой мощностью и более низкой ценой.

- На практике точность, которой можно добиться при использовании аналоговых фильтров, ограничена; например, затухание в полосе подавления нельзя поднять выше 60-70 дБ (если использовать стандартные аналоговые компоненты). Точность цифровых фильтров ограничена только используемой длиной слова.

- Производительность цифровых фильтров одинакова для всех устройств серии.

- Цифровые фильтры могут использоваться при очень низких частотах, характерных, например, для многих биомедицинских приложений, где применять аналоговые фильтры непрактично. Кроме того, цифровые фильтры могут использоваться в большом диапазоне частот, для чего достаточно просто менять частоту дискретизации.

Впрочем, по сравнению с аналоговыми цифровые фильтры имеют и ряд недостатков.

- Ограничение скорости. Максимальная ширина полосы сигналов, которые в реальном времени способны обработать цифровые фильтры, значительно уже, чем у аналоговых фильтров. В приложениях реального времени процесс преобразования «аналоговый-цифровой-аналоговый» вводит ограничение по скорости на производительность цифрового фильтра. Наивысшую частоту дискретизации, с которой может работать фильтр, ограничивает время конвертации АЦП и время установления сигнала ЦАП. Кроме того, скорость работы цифрового фильтра зависит от скорости работы используемого цифрового процессора и числа арифметических операций, которые надлежит выполнить в алгоритме фильтрации, и повышается, когда характеристика фильтра становится более сжатой.

- Влияние конечной разрядности. Цифровые фильтры подвержены шуму АЦП, происходящему от квантования непрерывного сигнала, и шуму округления, который вводится при вычислениях. При использовании рекурсивных фильтров высоких порядков накопление шума округления может привести к неустойчивости фильтра.

- Значительное время разработки и внедрения. Разработка и внедрение цифровых фильтров, особенно внедрение аппаратного обеспечения, могут выполняться гораздо дольше, чем подобные процедуры для аналоговых фильтров. В то же время, однажды разработанное аппаратное и/или программное обеспечение может использоваться в других задачах цифровой обработки сигналов с незначительной модификацией или вообще без изменений. Если при проектировании цифровых фильтров доступна хорошая компьютерная поддержка, эту задачу будет весьма интересно решать, хотя для того, чтобы эффективно и полно использовать такую поддержку, нужно определенное умение.

Сущность фильтрации

Итак, дискретный фильтр – это произвольная система обработки дискретного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности. Под этими свойствами понимается то же, что и в аналоговом случае:

- Линейность – выходная реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности.

- Стационарность – задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы.

Любой фильтр обладает определенной частотной характеристикой. Чтобы она была нетривиальной, то есть чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал фильтра y(k) должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала x(k). Таким образом, дискретный фильтр должен обладать памятью.

Чтобы обеспечить линейность и стационарность, производимые фильтром математические операции должны ограничиваться сложением и умножением на константы.

В простейшем случае нерекурсивных фильтров (КИХ–фильтры) происходит суммирование нескольких входных отсчетов и умножение их на постоянные весовые коэффициенты.

Если для расчетов мы используем отсчеты не только входного, но и выходного сигнала, то получим рекурсивный (БИХ–фильтр) фильтр. Переходной процесс в таком фильтре является бесконечным.

Способы описания дискретных систем

Введем несколько определений.

Импульсная характеристика – выходная реакция системы на единичный импульс. Обозначается h(t). Знание ИХ позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала.

Функция передачи –отношение z–преобразований выходного и входного сигналов и представляющая собой z–преобразование импульсной характеристики системы:

После небольших преобразований получаем вид функции передачи:

Частотная характеристика (комплексный коэффициент передачи):

Из формулы видно, что частотная характеристика дискретной системы, так же как и спектры дискретизированных сигналов, является периодической функцией частоты.

Нули и полюсы.Разложив числитель и знаменатель функции передачи на множители, получим функцию передачи в следующем виде:

Здесь k=b₀ – коэффициент усиления(gain), z_i – нули функции передачи (zero), p_i – полюсы функции передачи (pole). В точках нулей H(z_i)=0, а в точках полюсов H(p_i)→∞.

В данном случае дискретная система описывается набором параметров z_i, p_i, k. Нули могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. Тоже относится и к полюсам. Коэффициент усиления всегда вещественный.

Всепропускающий фильтр – фильтр, АЧХ которого равна 1 на всех частотах. Такие фильтры изменяют только фазы спектральных составляющих входного сигнала и могут использоваться, например, для линеаризации ФЧХ дискретных систем (то есть для выравнивания групповой задержки, вносимой системой).

Условия, при которых фильтр является всепропускающим:

- число нулей равно числу полюсов

- значения нулей являются обратными и комплексно-сопряженными по отношению к полюсам

- коэффициент усиления k равен произведению модулей полюсов фильтра.

Полюсы и вычеты.В виде суммы простых дробей функцию передачи можно представить следующим образом:

при отсутствии кратных корней знаменателя:

если полюс p_i имеет кратность m, то в разложении на простые дроби он порождает m слагаемых следующего вида:

Устойчивость дискретных систем.При отсутствии входного сигнала в дискретной системе могут существовать свободные колебании. Их вид зависит от начальных условий, то есть значений, хранящихся в элементах памяти системы в момент отключения входного сигнала. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях свободные колебания являются затухающими.

Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик. Поэтому для затухания свободных колебаний необходимо, чтобы была затухающая импульсная характеристика системы h(k).

Можно показать, что импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида:

где p_i – полюсы функции передачи, n – неотрицательные целые числа, меньшие кратности полюса p_i, A – некая константа.

Такие слагаемые при k→∞ затухают, если полюс p_i по модулю меньше единицы:  |p_i|<1.

Теперь мы можем окончательно сформулировать условие устойчивости: чтобы дискретная система была устойчива, полюсы ее функции передачи должны находиться на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса.

Пространство состояний.Сущность представления дискретной системы в пространстве состояний в следующем: имеется вектор параметров, описывающих внутреннее состояние системы, и две формулы, согласно которым производится изменение этого состояния и формирование входного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала:

Здесь  – вектор состояния,  и  - соответственно отсчеты входного и выходного сигналов, A, B, C, D – параметры, описывающие систему.