Решение задач по свойствам звеньев

Цель работы

Закрепить материал лекций по свойст­вам типовых динамических звеньев. Приобрести навыки исследования этих звеньев с помощью системы СИАМ.

Задание на выполнение лабораторной работы

1. Отработать навыки решения задач по исследованию свойств звеньев САР на основе их дифференциальных уравнений, передаточных и переходных функций.

2. С помощью системы СИАМ рассчитать на ПЭВМ переход­ные функции звеньев:

- интегрирующего;

- апериодического;

- колебательного.

3. По таблицам и графикам переходных функций звеньев опреде­лить параметры их передаточных функций.

4. Сделать выводы по результатам исследований.

Методические указания

1. Повторить особенности исследования САУ с использованием системы СИАМ в режимах:

- набора модели;

-  вычисления временных характеристик и вывода ре­зультатов в виде таблиц и графиков;

2. Для получения допуска к выполнению лабораторной рабо­ты по конспекту лекций и рекомендованной литературе подготовиться к ответам на следующие вопросы:

а) что называется звеном АС?

б) какие передаточные и переходные функции имеют следующие звенья:

- простое усилительное;

- идеальное интегрирующее;

- идеальное дифференцирующее;

- апериодическое (инерционное 1-го порядка);

- колебательное;

- чистого запаздывания?

в) как по графикам переходных функций определить параметры передаточных функций усилительного, идеального интегрирующего, апериодического, колебательного?

Краткие теоретические сведения

 Звеном называется часть САУ, оператор которой описывается дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка. Классификация звеньев по виду их передаточных функций представлена в таблице 3.1. Здесь k–коэффициент усиления,T–постоянная времени, x - относительный коэффициент затухания звена. Для определения пара­метров звена по виду его передаточной функции последняя обяза­тельно должна быть приведена к стандартному виду, например:

,

это апериодическое звено, его коэффициент усиления k =5, посто­янная времени T=1.5 с;

Решение задач по свойствам звеньев

Задача 1.  Дано: передаточная функция звена САУ

.

Требуется определить тип звена и его параметры: коэффициент усиления, постоянную времени и относительный коэффициент затухания.

Решение:

Приводим передаточную функцию звена к стандартному виду:

Это колебательное звено, его коэффициент усиления k=2, постоян­ная времени  T=2 с, относительный коэффициент затухания x=0.5.

Предлагается самостоятельно решить эту же задачу для сле­дующих вариантов:

       1) ,      

       2) ,    

       3) .

Ответы:

1) форсирующее звено первого порядка, k = 3, T = 2 c.

2) апериодическое звено,   k =0.25, T = 0.5 c.

3) колебательное звено,      k =0.5, T = 1 c, x = 0.5.

Задача 2.Дано: передаточная функция звена САР

 и входной сигнал x(t)= 1(t).

 Требуется определитьвыходной сигнал y(t).

Решение:

1) По табл.3.2. определяем изображение по Лапласу входного сигнала:

Таблица 3.1.

  №          Передаточная                           Название звена

п/п        функция звена                         

    1                                                                  усилительное

2                                                идеальное дифференцирующее

3                                                               интегрирующее   

4                                           форсирующее 1-го порядка 

5                       форсирующее 2-го порядка

инерционное 2-го порядка:                                                       - колебательное;  - апериодическое 2-го     порядка;    - консервативное;   - неустойчивое.

8                                             звено чистого запаздывания            

9                                           

Таблица 3.2

№ п/п	x(t) = L-1[X(p)]	X(p) = L [x(t)]
1 2     3   4   5   6   7     8   9     10	d(t) 1(t) tk sin wt cos wt	1

2) По формуле Y(p) = W(p) X(p)находим изображение по Лапласу выходного сигнала:

3) Приводим найденное изображение к виду, представленному в табл.3.2.:

4) По табл.3.2. определяем выходной сигнал y(t) = L^-1[X(p)]:

Предлагается самостоятельно решить эту же задачу для вариантов, представленных в табл. 3.3.

Таблица 3.3.

Вар.№	Дано:		Ответ:
	W(p)	x(t)	y(t)
1   2   3   4 5	5 3×p	1(t) 1(t) 1(t) d(t) d(t)	5 ×1(t) 3×d(t) 10×t

Задача 3.Дана переходная функция звена (см. рис.3.1)

Требуется определить передаточную функцию звена и его параметры.

Решение:

Переходной функцией звена h(t)называется ее реакция на

единич­ный ступенчатый сигнал. По таблице графиков переходных функций типовых звеньев определяем, что это переходная функция интегрирующего звена. Его передаточная и переходная функцииопре­деляются формулами:

,      .

Коэффициент усиления интегрирующего звена определяется по формуле

.                      (3.1)

Задача 4.Дана переходная функция звена (см. рис.3.2)

Требуется определить передаточную функцию звена и его параметры.

Решение:

Такой вид имеет график переходной функции апериодического звена. Его передаточная и переходная функцииопре­деляются формулами:

,   .

Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления апериодического звена определяется по формуле    

.                               (3.2)

Постоянную времени звена при использовании СИАМ про-

ще опре­делить по формуле T» t_Р / 3, где t_Р  - время регулирования.

Задача 5.Дана переходная функция звена (см. рис.3.3).

Требуется определить передаточную функцию звена и его параметры.

Решение:

Такой вид имеет график переходной функции колебательного звена. Его передаточная функция имеет вид:

               (3.3)

0<x<1,            W₀=1/T₀.

Корни характеристического уравнения звена

,             (3.4)

равны                     ,

где    , , .   

Переходная функция звена, определенная на основании теоремы разложения с использованием корней уравнения (3.4), имеет вид:

,                   (3.5)

где .  

Его коэффициент усиления, как и у апериодического, определя­ется по формуле

.                                 (3.6)

Измерив расстояние по оси времени между двумя любыми со­седними максимумами, можно найти период вынужденных колебаний T =t_max2 - t_max1  и, следовательно, и угловую частоту этих колебаний:

.                                         (3.7)

Как известно,

t_max1 = T/2 = p/w       или  T = 2t_max1.          (3.8)

На практике для определения периода колебаний T удобнее пользоваться именно этой формулой. С ее использованием несложно получить следующую зависимость:

Отсюда определяем

, где  .       (3.9)

Зная действительную l и мнимую wчасти корней уравнения (3.4), можно вычислить искомые параметры передаточной функции (3.3):

;       .             (3.10)

Порядок выполнения работы

1) Войти в СИАМ, набрать структурную схему исследования интегрирующего звена

где его коэффициент усиления k задать в соответствии с предложенными преподавателем вариантами из таблицы 3.4.

                                                                                          Таблица 3.4.

Выбрать метод интегрирования (Кутта-Мерсона) и задать время конца интегрирования t_k в соответствие с табл. 3.4. Рассчитать переходную функцию набранной системы, вывес-ти ее график, показать в виде таблицы.

В таблице переходной функции задать отрезок времени  t_i, равный, например, 2 с.Для этого значения времени по таб-лице определить значение переходной функции (отрезок h(t_i)  из рис.3.1.) и по формуле (3.1) вычислить коэффициент усиления kинтегрирующего звена. Результаты записать и показать преподавателю.

Сравнить вычисленное и заданное значения коэффициента усиления звена, сделать выводы.

1) Выйти без сохранения из СИАМ ([Esc], [Esc], …) и снова войти в нее, набрать структурную схему исследования апериодического звена:

где коэффициент усиления k и постоянную времени T задать в соответствии с заданным преподавателем вариантом исследования из таблицы 3.5.

Выбрать метод интегрирования (Кутта-Мерсона) и задать время конца интегрирования t_k в соответствии с табл.3.5. Рассчитать переходную функцию набранной системы, вывести ее график, показать в виде таблицы.

Таблица 3.5.

По таблице переходной функции определить параметры передаточной функции апериодического звена:

,       ,         .

Результаты записать и показать преподавателю. Сравнить вычисленные и заданные значения коэффициента усиления и постоянной времени звена, сделать выводы.                                                                                        

3) Выйти без сохранения из СИАМ ([Esc], [Esc], …) и снова войти в нее, набрать структурную схему исследования колебательного звена:      

где коэффициент усиления k,постоянную времени Tиотносительный коэффициент затухания d = xзадать в соответствии с заданным преподавателем вариантом исследования из таблицы 3.6.

Выбрать метод интегрирования Кутта-Мерсона и задать время конца интегрирования t_k в соответствии с табл.3.6. Рассчитать переходную функцию набранной системы, вывести ее график, показать в виде таблицы.

Таблица 3.6.

Выбрать метод интегрирования Кутта-Мерсона и задать время конца интегрирования t_k в соответствие с табл.3.6. Рассчитать переходную функцию набранной системы, вывести ее график, показать в виде таблицы.

По таблице переходной функции и формулам (3.6–3.10):

k=h(¥) = , t_max1 = , w=p/t_max1 = ,       ,

 = ,  = , l²  = ,   w²= ,

 =  , x=d=-lT₀=   ,    = ,

0.95 h(¥) =  ,    1.05 h(¥)=  ,     t_р=  ,   

– определить параметры передаточной функции колебательного звена: k, T, d,и показатели качества переходной функции: перерегулирование sи время регулирования t_р Результаты записать и показать преподавателю.

Сравнить вычисленные и заданные значения коэффициента усиления, постоянной времени и относительного коэффициента усиления звена, сделать выводы.

Контрольные вопросы к лабораторной работе

1) Что называется звеном САУ?

2) Запишите дифференциальные уравнения звеньев, заданных передаточными функциями:

а)     б)     в)

г)      д)

3) Назовите звенья, передаточные функции которых имеют вид:

а) ;     б) ;    в) ;

г) ;       д)         е) ,

- и определите их параметры.

4) Выведите аналитические выражения переходных функций звеньев САР:

а) усилительного, 

б) интегрирующего,

в) апериодического,

г) колебательного звеньев.

5) Нарисуйте графики переходных функций этих звеньев.

6) Поясните порядок определения параметров передаточных функций

а) интегрирующего,

б) апериодического и

в) колебательного звеньев по их переходным функциям.

7) Как с помощью СИАМ

 - набрать схему исследования звена?

 - рассчитать переходную функцию?

 - вывести результат в виде графика или таблицы?

 - определить установившееся значение, перерегулирование, время регулирования?

Отчет

о лабораторной работе №5