Исследование функций с помощью производных.

Контрольная работа №4 содержит 2 контрольных задания.

Краткая теория и методические указания для решения.

1. Правило Лопиталя для нахождения пределов функций в случае неопределенностей вида  или .

         Пусть функция  и  при  (или ) совместно стремятся к нулю или бесконечности . Если отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношений производных, т.е.

         пусть

         или     

         Тогда

     Если после первого применения правила Лопиталя получим опять  или , то правило Лопиталя можно применить повторно.

2. Общий план исследования функции и построение графика

При исследовании функции рекомендуется все результаты, полученные в каждом разделе плана наносить на координатную плоскость после каждого раздела.

I. Общая характеристика функции:

1. Область определения .

2. Характеристика функции (четность, нечетность).

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат

 (входит в область определения).

5. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва  – вертикальная асимптота, если при .

2) Наклонные асимптоты: , , . 

Полученные точки и асимптоты нанести на координатную плоскость.

II. Исследование функции на возрастание, убывание, экстремумы.

1. Находим производную .

2. Определяем точки, где  или не существует.

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак производной  на каждом полученном интервале (для этого на каждом интервале можно взять любое значение х, подставить его в производную  и определить знак результата).

4. Определяем участки возрастания и убывания функции (по знаку ).

 – функция возрастает 

 – функция убывает

5. Определяем точки экстремума – точки, где и при переходе через эту точку производная меняет свой знак.

                                          – максимум                         – минимум

Вычисляем значение функции  в полученных точках – экстремумы функции.

Точки экстремума нанести на координатную плоскость, сделать схематический график.

 III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

1. Находим вторую производную

2. Определяем точки, где вторая производная равна нулю или не существует .

3. Откладываем полученные точки на числовой оси и определяем знак второй производной на каждом полученном интервале (аналогично определению знака первой производной).

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции (по знаку второй производной).

– функция вогнутая

– функция выпуклая

5. Определяем точки перегиба – точки, где  и при переходе через эту точку  меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость и наоборот). Вычисляем значения функции  в точках перегиба.

Точки перегиба нанести на схематический график и показать на графике выпуклость и вогнутость.

 IV. Строим график.

Примеры решения заданий контрольной работы №4

Задание 1. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя

                        =

Задание 2. Исследовать функцию  и построить ее график.

               Решение. Будем следовать общему плану.

Построим  координатную плоскость, на которую будем наносить результаты, полученные в каждом разделе.

 I.           Общая характеристика функции.

1. Область определения :

                   Т. е                           

2. Характеристика функции.

                Функция   называется четной, если , нечетной, если , иначе - функцией общего вида

                По определению, - нечетная функция.

3. Непрерывность функции.

                    является непрерывной везде, кроме точек  и , где она терпит бесконечный разрыв.

4. Точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Асимптоты.

1. Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва

                            предел слева:

                                        предел справа:

                            предел слева:

                                        предел справа:

                       2. Наклонные асимптоты.

                          ; ;     

                       Наклонная асимптота

          При  и при  график функции  будет неограниченно приближаться к графику прямой .

          Полученные точки и асимптоты наносим на координатную плоскость.

                                                Схематический график 1.

II. Исследование функции на возрастание и убывание, экстремумы.

       1.Находим

        2.  

              или ,

                 не существует, если =0, т.е.  и , но эти точки не входят в область определения.

                Нанесем полученные точки на ось

                Определяем знак первой производной в каждом полученном интервале, для чего определим знак  в произвольной точке каждого интервала.

               Возьмем, например, , , , , , .

         4. Определяем участки возрастания и убывания функции.  

               функция убывает   

               функция возрастает  

                       функция возрастает 

                      функция возрастает

                    функция возрастает

               функция убывает

6. Определяем точки экстремума.

                Точка                 -мининум     

                Точка                    -максимум

                Нанесем точки экстремума на координатную плоскость.

                                                    Схематический график 2.

III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

         1. Находим вторую производную

          2.   

               - не существует при , т.е.  и ; но эти точки не входят в область определения .

          3. Нанесем эти точки на ось  .     

               Определяем знак второй производной в каждом полученном интервале, для чего определяем

               знак , например, в точках , ,   и

4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции

         - функция вогнутая

             - функция выпуклая

                             - функция вогнутая

                          - функция выпуклая

           5. Определяем точки перегиба.

               При переходе через  меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость).

               Определяем значение в точке перегиба.

                ; точка перегиба (0,0).

                Наносим точку перегиба на схематический график.

            Схематический график 3.

IV. Строим график.