Критерии подобия. Перерасчет результатов модельных испытаний на натуру

Критерии подобия — безразмерные комбинации, которые составлены из физических величин, описывающих процессы в исследуемых объектах. Крите­рии подобия должны обладать четким физическим смыслом. Обозна­ча­ются крите­рии буквой π.

В соответствии с теорией подобия при экспериментах необходимо изме­рять все величины, входящие в состав крите­риев. Обрабатывать результаты следует в виде зависимостей между критериями подобия. Полученные таким образом зависимости будут спра­ведливы не только для данного эксперимента, но и для всех подобных объектов.

Например, критериями практического подобия двух однотипных ло­пастных машин (радиальных или осевых), работающих в установившихся ре­жимах, являются безразмерный напор π₁ и безразмерная подача π₂ .

                           ; ,                           (4.4)

где H — напор насоса; Q — подача; n — частота вращения ротора; D₂ — диа­метр рабочего колеса.

Зависимость безразмерного напора от безразмерной подачи пред­ставляет собой безразмерную (типовую) напорную характеристику лопаст­ной машины. Она не связана с размерами, частотой вращения ротора и плотностью жидкости, а характеризует только особенности гидродинами­ческой схемы и является одинаковой для всего семейства лопастных машин.

При создании крупных машин первоначально изготовляет несколько небольших моделей различных гидродинамических схем и проводят их ис­пытания. Определяя критерии π₁ и π₂ для различных режимов, строят гра­фик зависимости π₁ от π₂ — безразмерную характеристику, а затем по законам подобия определяют размеры, частоту вращения и строят зави­симость напора от подачи для натурной машины.

Пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия одно­­знач­ности, для лопастных машин, работающих в установившихся режи­мах, выполняется при их геометрическом подобии. Последнее требует одина­ко­­во­сти форм и одинакового отношения сходственных размеров. Гео­метри­ческое подобие является обязательным условием практического по­добия боль­шин­ства объектов.

Лопастная машина состоит из подвода, рабочего ко­леса и отвода. Два рабочих колеса, например, радиальной машины, будут геометрически подоб­ными, если число и форма лопаток у них будут оди­наковыми, а сходственные размеры будут находиться в соотношении

                                        ,                                        (4.5)

где D_1н, D_2н, B_2н и D_1м, D_2м, B_2м — диаметр входа, диаметр и ширина колеса соответственно натурной и модельной машин, рис. 4.1.

Для геометрического подобия лопастных машин, кроме рабочих ко­лес, должно быть соблюдено подобие их подводов и отводов.

4.3 π-теорема и ее следствия

В соответствии с π-теоремой, если процесс в объекте характери­зуется m фунда­мен­тальными физическими величинами, для выражения размерностей которых используется k основных единиц, то этот про­цесс можно описать m – k безразмерными комбинациями, составленными из этих величин.

Из теоремы следует два важных практических вывода:

1. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены уравнениями связи между безразмерными комбинациями — крите­риями подо­бия. Последние уравнения будут справедливы для всех подоб­ных объектов.

2. Число независимых критериев равно m – k, т.е. меньше числа размер­ных физических переменных на число основных единиц. Уменьшение числа переменных, которыми описы­вают процесс, ведет к уменьшению объема экспе­ри­­ментальных исследований и делает результаты более наглядными.

Предположим, что процессы в объекте описываются m = 5 фунда­ментальными физическими величинами. Одна из них выходная — параметр и четыре входных — факторы. Решено экспериментальным путем установить связь между выходной и входными величинами, не прибегая к безразмер­ным комбинациям. Пусть при постановке опытов каждый фактор будет фиксиро­вать­ся на пяти уровнях. В этих условиях для пе­ребора всех возможных сочетаний необходимое число опытов, равное слож­ности объекта, составит C = 5⁴ = 625. Выполнить такое количество опытов весьма затруднительно.

Сложен также анализ результатов эксперимента, поскольку необходимо получить зависимость в виде функции четырех переменных. Подобрать такую зависимость весьма сложно. Кроме того, результаты опытов практически невоз­можно будет представить графически.

Посмотрим, что даст переход к безразмерным комбинациям. Предполо­жим, что число основных единиц k = 3 — это очень часто встречающийся случай при исследовании механических и гидравлических систем. В условиях рас­сматривае­мого примера в соответствии с π-теоремой после перехода к кри­те­риям подобия число безразмерных переменных составит m – k = 5 – 3 = 2. Одна из них — безразмерный параметр, вторая — обобщенный безразмер­ный фактор. Для получения данных, одинаково достоверных с данными экспери­ментов без использования критериев подобия, в последнем слу­чае достаточно будет поставить не 625, а всего 5 опытов.

При перехо­де к безразмерным комби­на­циям упрощается анализ и графи­ческое представление информации. Зависи­мость безразмерного параметра от обобщенного без­размерного фактора описывается функцией одной переменной и будет представлена на графике одной линией.

Известны два способа определения критериев подобия: с помощью анализа размерностей и по уравнениям процесса.