Математические модели теории надёжности

Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал)

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

Высшего образования «Донской государственный технический университет»

В г. Шахты Ростовской области

(ИСО и П (филиал) ДГТУ) в г.Шахты

                                                                                         На правах рукописи

М.Д. Молев

НАДЁЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙРИСК

Конспект лекций

                                                                                 Рассмотрен и рекомендован

                                                                              для использования в учебном                                                                                                                                                                           процессе на 2016/2017 – 2018/2019

учебные годы на заседании кафедры

                                                                            «СиТБ».

            Протокол № 1 от 02.09.2016 г.

ШАХТЫ 2016

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основные вопросы, которые изучает теория надёжности: отказы технических элементов (средств, систем); критерии и количественные характеристики надёжности; методы анализа и повышения надёжности элементов и систем на этапах проектирования, изготовления и эксплуатации; методы испытания технических средств на надёжность; методы оценки эффективности и повышения надёжности.

Показатели надёжности

Надёжность – это свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения установленных эксплуатационных показателей. В теории надёжности используют понятия объект, элемент, система.

Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. Объектами могут быть различные системы и их элементы.

Элемент – простейшая составная часть изделия, может состоять из многих деталей.

Система – совокупность совместно действующих элементов, предназначенная для самостоятельного выполнения заданных функций.

Понятия элемента и системы трансформируются в зависимости от поставленной задачи. Например, станок, при установлении его собственной надёжности рассматривается как система, состоящая из отдельных элементов – механизмов и деталей, а при изучении надёжности технологической линии – как элемент.

Надёжность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями.

Исправность – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

Работоспособность – состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД.

Основные параметры характеризуют функционирование объекта при выполнении поставленных задач.

Понятие исправность шире, чем понятие работоспособность. Работоспособный объект обязан удовлетворять лишь тем требования НТД, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Таким образом, если объект неработоспособен, то это свидетельствует о его неисправности. С другой стороны, если объект неисправен, то это не означает, что он неработоспособен.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.

Применение объекта по назначению прекращается в следующих случаях: при неустранимом нарушении безопасности, при неустранимом отклонении величин заданных параметров, при недопустимом увеличении эксплуатационных расходов. Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, для других – определённой фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ. В связи с этим, объекты могут быть: невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возникновения отказа, не подлежит восстановлению; восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта. Критерий отказа – отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа.

Надёжность является комплексным свойством, включающим в себя в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации ряд простых свойств: безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени. При этом наработка определяется как продолжительность или объём работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, километры пробега и т. п.).

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания.

Сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования.

В зависимости от объекта надёжность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их. Например, надёжность подшипников определяется их долговечностью, а станка – долговечностью, безотказностью и ремонтопригодностью.

Показатель надёжности количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определённые свойства, обусловливающие надёжность. Одни показатели надёжности имеют размерность, ряд других являются безразмерными.

Технический ресурс – наработка объекта от начала его эксплуатации или возобновления эксплуатации после ремонта до наступления предельного состояния. Технический ресурс может быть регламентирован следующим образом: до среднего, капитального, от капитального до ближайшего среднего ремонта и т. п. Если регламентация отсутствует, то имеется в виду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех видов ремонтов. Для невосстанавливаемых объектов понятия технического ресурса и наработки до отказа совпадают.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации (в том числе, хранение, ремонт и т. п.) от ее начала до наступления предельного состояния.

       Наработка до отказа – вероятность того, что в пределах заданной наработки

отказ объекта не возникнет (при условии работоспособности в начальный момент времени). Средняя наработка до отказа – математическое ожидание случайной наработки объекта до первого отказа. Средняя наработка между отказами – математическое ожидание случайной наработки объекта между отказами. Средняя наработка на отказ – отношение наработки восстанавливаемого объекта за некоторый период времени к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки. Этим термином можно назвать кратко среднюю наработку до отказа и среднюю наработку между отказами, когда оба показателя совпадают. Для их совпадения необходимо, чтобы после каждого отказа объект восстанавливался до первоначального состояния.

       Среднее время простоя – математическое ожидание случайного времени вынужденного нерегламентированного пребывания объекта в состоянии неработоспособности. 

      Среднее время восстановления – математическое ожидание случайной продолжительности восстановления работоспособности (собственно ремонта).

      Средний коэффициент готовности – усредненное на заданном интервале времени значение нестационарного коэффициента готовности.

      Стационарный коэффициент готовности (коэффициент готовности) – вероятность того, что восстанавливаемый объект окажется работоспособным в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации. Коэффициент готовности может быть определен и как отношение времени, в течение которого объект находится в работоспособном состоянии, к общей длительности рассматриваемого периода. Предполагается, что рассматривается установившийся процесс эксплуатации, математической моделью которого является стационарный случайный процесс. Коэффициент готовности является предельным значением, к которому стремятся и нестационарный, и средний коэффициенты готовности с ростом рассматриваемого интервала времени.

      Интенсивность отказов – условная плотность вероятности отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.

      Параметр потока отказов – плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени. Параметр потока отказа может быть определен как отношение числа отказов объекта за определенный интервал времени к длительности этого интервала при ординарном потоке отказов.

       1.2 Критерии и количественные характеристики надёжности

       Критерием надёжности называется признак, по которому можно количественно

оценить надежность различных устройств. К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся: вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t); средняя наработка до первого отказа T_ср, наработка на отказ t_ср; частота отказов f(t) или а(t);  интенсивность отказов λ(t); параметр потока отказов; коэффициент готовности K_г.

       Характеристикой надёжности называется количественное значение критерия надежности конкретного устройства. Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида объекта.

       1.2.1 Критерии надёжности невосстанавливаемых объектов

       Рассмотрим следующую модель работы устройства. Пусть в работе (на испытании) находится N₀ элементов и работа считается законченной, если все они отказали. Причем вместо отказавших элементов отремонтированные не ставятся. Тогда критериями надежности данных изделий являются: вероятность безотказной работы P(t), частота отказов f(t), интенсивность отказов λ(t), средняя наработка до первого отказа T_ср.

       Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.

Согласно определению:

       P(t ) = P(T > t ),

где: T – время работы элемента от его включения до первого отказа, t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы. Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением:

      P(t) = [N₀ – n(t )] / N₀,

где: N₀ – число элементов в начале работы (испытаний), n(t) –число отказавших элементов за время t, P _t  – статистическая оценка вероятности безотказной работы. При большом числе элементов (изделий) N₀  статистическая оценка P(t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t).

      Частотой отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются. Согласно определению:

        f (t ) = n(Δt ) / N₀Δt,

где: n(t) – число отказавших элементов в интервале времени от

         (t – Δt) / 2 до (t + Δt) / 2.

       Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения)

времени работы изделия до первого отказа. Интенсивностью отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени:

      λ(t ) = n(Δt ) / (N_cpΔt),

где: N_cp – среднее число исправно работающих элементов в интервале времени. Вероятностная оценка характеристики λ(t) находится из выражения:

      λ(t) = f (t) / P(t).

       Параметр Tср вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы). Для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Рассмотренные критерии надежности позволяют достаточно полно оценить надёжность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надёжность восстанавливаемых изделий до первого отказа. Наиболее полно надёжность изделий характеризуется частотой отказов f(t) или a(t). Это объясняется тем, что частота отказов является плотностью распределения, а поэтому несёт в себе всю информацию о случайном явлении – времени безотказной работы.

       Интенсивность отказов – наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы. Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы является вероятность безотказной работы. Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы:  она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например, в эффективность и стоимость; характеризует изменение надежности во времени; может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.

       1.2.2 Критерии надёжности восстанавливаемых объектов

       Рассмотрим следующую модель работы. Пусть в работе находится N элементов и отказавшие элементы немедленно заменяются исправными. Если не учитывать времени, потребного на восстановление системы, то количественными характеристиками надёжности могут быть параметр потока отказов ω(t) и наработка на отказ tср. Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными.

       Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок:

       K п = t p / (t p + tп).

       Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью

      Kп = 1– Kг.

       При анализе надёжности восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле

       Kг =T_cp / (T_cp + t_в).

     Физический смысла коэффициента готовности Kг системы  состоит в вероятности застать её в исправном состоянии в любой момент времени t.

Математические модели теории надёжности

Общие понятия о моделях надёжности. Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспособности объекта необходимо иметь математическую модель, которая представлена аналитическими выражениями одного из показателей P(t) или f(t) или (t). Основной путь для получения модели состоит в проведении испытаний, вычислении статистических оценок и их аппроксимации аналитическими функциями.

Опыт эксплуатации показывает, что изменение интенсивности отказов (t) подавляющего большинства объектов описывается U – образной кривой (рис. 1).

Рисунок 1 –  Типичная функция интенсивности отказов

Кривую можно условно разделить на три характерных участка: первый – период приработки, второй – период нормальной эксплуатации, третий – период старения объекта. Период приработкиобъекта имеет повышенную интенсивность отказов ИО, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа, наладки. В период нормальной эксплуатации ИО уменьшается и практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за несоблюдения условий эксплуатации, случайных изменений нагрузки, неблагоприятных внешних факторов и т. п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта. Возрастание ИО относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов от причин, связанных с длительной эксплуатацией.

Вид аналитической функции, описывающей изменение показателей надежности P(t), f(t) или (t), определяет закон распределения случайной величины, который выбирается в зависимости от свойств объекта, его условий работы и характера отказов.

Выбор закона распределения состоит в подборе аналитической функции наилучшим образом аппроксимирующей эмпирические функции надёжности. При этом многое зависит от априорных знаний об объекте и его свойствах, условиях работы, а также анализа вида графиков P(t), f(t) и (t). Очевидно, что выбор распределения будет зависеть, прежде всего, от вида эмпирической функции f(t) и (t). Требуется подобрать параметры так, чтобы функция f(t) наилучшим образом сглаживала ступенчатый график f(t).

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

где ₀ , - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 2.

Рисунок 2 – Показатели безотказности при нормальном распределении

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, т. е. математическим ожиданием МО. Параметр S характеризует форму кривой f(t). Для практического расчёта показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц. Перейдем от случайной величины T₀ к случайной величине

распределённой нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X}=1 и плотностью распределения

Выражение описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3).

Рисунок 3 – Плотность нормированного нормального распределения

Функция распределения случайной величины X запишется

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x). В справочной литературе приведены расчётные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т₀)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

f(t) = f(x)/S;

Q(t) = F(x);

P(t) = 1 - F(x);

(t) = f(x)/S(1 - F(x)).

Экспоненциальное распределение описывает наработку до отказа объектов, у которых в результате сдаточных испытаний отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации. Эти объекты можно отнести к «не стареющим», поскольку они работают только на участке с (t) = = const. Круг таких объектов широк: сложные технические системы с множеством компонентов, средства вычислительной техники и системы автоматического регулирования и т. п. Экспоненциальное распределение широко применяется для оценки надежности энергетических объектов. Считается, что случайная величина наработки объекта до отказа подчинена экспоненциальному распределению, если ПРО описывается выражением:

f(t) = exp( - t),

где – параметр распределения, который по результатам испытаний принимается равным 1 / ₀, где ₀ – оценка средней наработки до отказа.

Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение. Нормально распределённым является логарифм (lg t) случайной величины T. Логарифмически нормальное распределение более точно, чем нормальное описывает наработку до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например, подшипников качения, электронных ламп и пр. Если величина lg t имеет нормальное распределение с параметрами: МО U и СКО V, то величина T считается логарифмически нормально распределенной с ПРО, описываемой:

Параметры U и V по результатам испытаний принимаются:

где и - оценки параметров U и V.

Графики изменения показателей надёжности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 4.

Рисунок 4 – Графики изменения показателей надёжности при логарифмически нормальном распределении 

Гамма–распределение. Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами (масштабный параметр) и (параметр формы), где , > 0, причем – целое число, если ее ПРО описывается выражением:

где Г( ) = ( - 1)! – гамма-функция Эйлера. Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону. При больших  гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = · , b = · ². Графики изменения показателей надёжности при гамма-распределении приведены на рис. 5.

Рисунок 5 – Графики изменения показателей надёжности при гамма-распределении