Математические основы векторной графики

Если основным элементом растровой графики является пиксел (точка), то в случае векторной графики в роли базового элемента выступает линия. Это связано с тем, что в векторной графике любой объект состоит из набора линий, соединенных между собой узлами. Как уже отмечалось в предыдущем разделе, отдельная линия, соединяющая соседние узлы, называется сегментом (в геометрии ей соответствует отрезок). Сегмент может быть задан с помощью уравнения прямой или уравнения кривой линии, требующих для своего описания разного количества параметров. Для более полного понимания механизма формирования векторных объектов рассмотрим способы представления основных элементов векторной графики: точки, прямой линии, отрезка прямой, кривой второго порядка, кривой третьего порядка, кривых Безъе.

В векторной графике тачке соответствует узел. На плоскости этот объект пред- ставляется двумя числами (X, Y), задающими его положение относительно начала координат.

Для описания прямой линии используется уравнение Y = аХ + b. Поэтому для по- строения данного объекта требуется задание всего двух параметров: а и b. Результатом будет построение бесконечной прямой в декартовых координатах. В отличие от прямой, отрезок прямой требует для своего описания двух дополнительных параметров, соответствующих началу и концу отрезка (например, X1 и Х2).

К классу кривых второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы и окружности, то есть все линии, уравнения которых содержат переменные в степени не выше второй. В векторной графике эти кривые используется для построения базовых форм (примитивов) в виде эллипсов и окружностей. Кривые второго порядка не имеют точек перегиба. Используемое для описания этих кривых каноническое уравнение требует для своего задания пяти параметров:

х2 + a1y2 + а2ху + а3х + а4у + a5 = 0.

Для построения отрезка кривой требуется задать два дополнительных параметра.

В отличие от кривых второго порядка кривые третьего порядка могут иметь точку перегиба. Например, график функции Y ™ X3 (рис. 10.6) имеет точку перегиба в начале координат (0, 0). Именно эта особенность данного класса функций позволяет использовать их в качестве основных кривых для моделирования различных природных

объектов в векторной графике. Следует отметить, что упомянутые ранее прямые и кривые второго порядка являются частным случаем кривых третьего порядка.

Каноническое  уравнение,  используемое  для  описания  уравнения  третьего  порядка, требует для своего задания девяти параметров:

х3 + a1y3 + a2 х2 у+ а3ху2 + а4х2 + а5у2 + а6ху + а7х + а8у + а9 = 0.

Для описания отрезка кривой третьего порядка требуется на два параметра больше. Кривые Безъе — это частный вид кривых третьего порядка, требующий для своего описания меньшего количества параметров — восьми вместо одиннадцати. В основе построения кривых Безье лежит использование двух касательных, проведенных к крайним

точкам отрезка линии (рис. 4.6, справа). На кривизну (форму) линии влияет угол наклона и длина отрезка касательной, значениями которых можно управлять в интерактивном режиме путем перетаскивания их концевых точек. Таким образом, касательные выполняют функции виртуальных рычагов, позволяющих управлять формой кривой. Более подробно об этом будет сказано далее в разделе «Кривые Безье».

Рис. 4.6. Представление кривой линии с помощью кривых третьего порядка: слева — классический вариант; справа — кривая Беэье