Модуль 2. Дифференциальные уравнения

Модуль 1. Интегральное исчисление

Лекция 1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. Интегрирование простейших дробей.

Лекция 2.Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Физическая и экономическая интерпретация определённого интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона—Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций по отрезку, симметричному относительно начала координат.

Лекция 4. Несобственные интегралы первого рода. Определение сходимости. Свойства сходящихся интегралов. Сходимость интегралов вида  и  в зависимости от параметра р. Признаки сравнения. Абсолютная и условная сходимость, примеры. Связь между обычной и абсолютной сходимостью. Сходимость и значение интеграла . *Понятие о несобственных интегралах второго рода.

Лекция 4. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения, вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения.

Модуль 2. Дифференциальные уравнения

Лекция 5. Инженерные и экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка, его решения (частные и общие). Интегральные кривые. Задача Коши для ДУ 1-го порядка, Теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ (без вывода). Методы решения ДУ 1-го порядка: с разделяющимися переменными и линейные. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Теорема Коши о существовании и единственности решения задач Коши.

Лекция 6.ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) 2-го порядка, однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного ЛДУ. Линейно зависимые и независимые системы функций на промежутке. Определитель Вронского, его свойства Структура общего решения однородного ДУ 2-го порядка.

Лекция 7.Формула Остроградского – Лиувилля и ее следствия.Однородные ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения Однородного ЛДУ 2-го порядка по корням характеристического уравнения. Неоднородные ЛДУ 2-го порядка. Структура общего решения. Теорема о наложении частных решений.

Лекция 8. Решение неоднородного ЛДУ второго порядка с правой частью специального вида. Решение НЛДУ 2-го порядка методом Лагранжа вариации постоянных.

УПРАЖНЕНИЯ

Литература

ОЛ–6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича.—М.: Астрель, 2010. – 496 с.

ОЛ–7. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.
Том. 1.—М.: Астрель, 2005.

ОЛ–8. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.
Том. 2.—М.: Астрель, 2006.