Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

1^о. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая l и вектор .

Определение 1.Осью l будем называть прямую, на которой задано направление. Направление оси задается вектором  (направляющий вектор оси).

Рис.2.1. Проекция точки А на ось l.

Пусть  – точка, не принадлежащая l. Проведем через точку  плоскость p^l. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки  на ось l. Обозначение: (см. рис.2.1).

Если наряду с точкой  взять точку B, то можно построить .

Определение 2.Так построенный вектор  называется векторной проекцией вектора  на ось l. Обозначают: .

Иногда говорят, что  есть компонента вектора  на оси l.

Вектора  и  – коллинеарны Þ  R: .

Определение 3.Такое число  называется скалярной проекцией (проекцией) вектора  на ось l с масштабным вектором . В этом случае  рассматривается как единичный вектор. Пишут  или .

Таким образом .

Легко видеть, что  Û ^ .

Свойства проекции.

1⁰. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора  на косинус угла между вектором и осью:

.

Рис.2.2. - проекция вектора  на ось l. а) , б)

Действительно, пусть .

Если  (см. рис. 2.2а), то , поэтому

.

Если  (см. рис. 2.2б), то , и

.

2⁰. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число: .

Действительно, если , то угол между векторами  и  равен углу между  и , то есть l и .

Если , то

3⁰. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Справедливость этого утверждения следует из рис.9. В случае а) , б)