Свойства умножения вектора на число.

1)  и .

2)  и  вектора .

3)  и  вектора .

4)  вектора .

Доказательство 1).  Пусть для простоты  и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо  и  взять  и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна  (см. рис.1.3).

Рис.1.3. Иллюстрация свойства сложения векторов

Доказательство 2)–4). Очевидно с учетом того, что при этом получаются коллинеарные вектора.

Рис. 1.4. Вычитание векторов

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Определение 11.Линейной комбинацией векторов  с коэффициентами  R называется выражение вида: .

Определение 12.Вектора  называются линейно зависимыми, если  R, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и линейная комбинация  с этими  является нулевым вектором, т.е. .

Определение 13.Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами,  называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы  были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди  один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества  линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство.

1. Пусть векторы  – линейно зависимы, т.е.  и, например, . Тогда  и , т.е. является линейной комбинацией .

Пусть . Тогда , где , т.е.  – линейно зависимы.

2. Если  и  – любое, например,  - линейно зависимы.

3. Если  – линейно зависимы, то  одновременно неравные нулю, так что  и хотя бы одно из  отлично от нуля  – линейно зависимы. ч.т.д.

Теорема 2. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

 Пусть  и  – коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть . Тогда если , то , если , то . В обоих случаях  и  – линейно зависимы.

 Пусть  и  – линейно зависимы, т.е. , где  не равно 0. Тогда, если , по определению10  и  коллинеарны.∎

Следствие 1. Если  и  – коллинеарны и , то  R: .

Доказательство.  R: . Если . Т.о.  и .

Теорема 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Будем предполагать, что никакие два вектора из трех не коллинеарны, так как иначе утверждение очевидно в силу свойства линейно зависимых векторов.

 Пусть вектора  компланарны. Перенесем их в точку O, проведем через конец вектора c прямые, параллельные векторам  и  и рассмотрим параллелограмм .(см. рис. 1.5) Векторы  и ,  и  – коллинеарны  R: , . Но , ,  – линейно зависимы.

Рис.1.5. Иллюстрация доказательства теоремы 3.

 Пусть , ,  – линейно зависимы. Тогда  R, одновременно не равные нулю: . Если, например, , то  – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельными  и , ,  лежат в одной плоскости, то есть они компланарны.∎

Теорема 4. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Предположим, что никакие три из векторов  не компланарны (иначе они линейно зависимы) очевидно. Остальное следует из (рис.1.6) по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точку D проведем три плоскости, параллельные парам векторов { , }; { , };{ , }.

, .  R: , , ,  – линейно зависимы.∎

Рис.1.6. Иллюстрация доказательства теоремы 4.

Определение 14.Базисом на прямой (соответственно, на плоскости и в пространстве) называется упорядоченный набор из одного (соответственно, из двух и трех) линейно независимых векторов.

Замечание. Очевидно, что рассматриваемые векторы должны быть ненулевыми.

Теорема 5(о существовании и единственности разложения по базису). Всякий вектор пространства (соответственно, плоскости и прямой) однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов данного базиса.

Доказательство. Докажем существование искомой линейной комбинации для пространства. Пусть векторы  образуют данный базис, а  ­– произвольный вектор. По теореме 4 векторы  линейно зависимы, так что существует нетривиальная линейная комбинация . Если ,  то имеем , причем одно из чисел , что противоречит линейной независимости . Следовательно,  и искомая комбинация имеет вид

.

Докажем единственность. От противного. Пусть имеется два различных набора чисел  и  таких, что  и . Тогда  и в силу линейной независимости  имеем , что противоречит различию наборов чисел. ∎

Определение 15.Координатами (компонентами) вектора относительно базиса  называются такие (однозначно определенные) числа , что 

.

Также будем писать

Теорема 6 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов  и  их координаты (относительно любого фиксированного базиса) складываются; при умножении  на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть  – базис, , . Тогда в силу свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число имеем

, . В силу единственности разложения по базису  что теорема доказана. ∎