Линии и поверхности второго порядка

1. Сечением поверхности  плоскостью    является …

2. Сумма расстояний от центра до вершин поверхности второго порядка  

 равна …

3. К линиям второго порядка, имеющим бесконечно много центров, относятся …

4. Вектор, сопряженный вектору  относительно кривой , имеет координаты …

5. Уравнение прямой, касающейся эллипса в точке ), имеет вид …

Аффинные и изометрические преобразования

1. Прямоугольник имеет … элементов симметрии.

2. Движением плоскости, не имеющем инвариантных прямых, является …

3. При аффинных преобразования плоскости сохраняются:

3.1.   Углы

3.2.  Параллельной прямых

3.3.  Расстояние между точками

3.4 . Свойство быть окружностью

Проективная плоскость

1. Овальная кривая на проективной плоскости имеет уравнение …

2. Моделью проективной прямой является

2.1. Аффинная прямая

2.2. Окружность

2.3. Окружность с выколотой точкой

2.4. Расширенная прямая.

Задачи для самостоятельного решения.

Эллипс, парабола, гипербола

1. Какому условию должен удовлетворять эксцентриситет гиперболы  для того, чтобы на правой ее ветви существовала точка, одинакова удаленная от правого фокуса и от левой директрисы.

2. Докажите, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса гиперболы на одну из ее асимптот, равна мнимой полуоси.

3. Докажите, что директрисы гиперболы проходят через основания перпендикуляров, опущенных из соответствующих фокусов на директрисы.

4. Докажите, что площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны на асимптотах, есть величина постоянная, равная половине произведения полуосей гиперболы.

5. Докажите, что произведение длин перпендикуляров, опущенных на ось параболы из концов любой хорды, проходящей через фокус этой параболы, имеет постоянную величину.

6. Найти множество всех точек, каждая из которых симметрична фокусу F параболы относительно некоторой касательной.

7. Кривая второго порядка задана общим уравнением. При каком условии: а) ось ОХ имеет асимптотическое направление; б) ось ОХ является асимптотой данной кривой; в) оси координат являются асимптотами кривой.