Построение функции Грина задачи.

   Если задача (2.1) – (2.7) невырождена (т.е. имеет единственное решение) на Г, то ее решение для функции , и любой  может быть представлено в виде:

.                            (4.1)

Определение.  

Функцией Грина  на отрезке называют функцию двух переменных  и , при каждом фиксированном  из отрезка, обладающую свойствами:

1. при  удовлетворяет по  однородному дифференциальному уравнению;

2. при  удовлетворяет по  краевым условиям;

3. при  непрерывна по , т.е.

,

(для уравнения порядка )

4. при  имеет скачек, т.е.

,

(где  - коэффициент при старшей производной дифференциального уравнения порядка ).

Функцию Грина задачи (2.1) - (2.7) на графе  можно построить по формуле:

                                                        (4.2)

где  - фундаментальная система решений однородного уравнения .

                                                                                 (4.3)

Положим в задаче (2.1) - (2.7) .

Функцию  можно построить по функциям Грина двухточечных задач (задач на отрезках) на :

 (4.4)

где - функция Грина двухточечной краевой задачи на отрезке :

 на ,

                                                ,                                               (4.5)

                 , , ( )

Согласно определению функции Грина на отрезке, она должна удовлетворять однородному уравнению, поэтому найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения : , .

По левым частям краевых условий (2.16) построим функционалы: , .

Так как функция Грина должна удовлетворять краевым условиям, то

                           ,

             , .             (4.6)

Функцию Грина задачи (4.5) будем искать в виде:

,

где по равенствам (4.6) можно найти ,

функция  - какое-либо решение неоднородного уравнения задачи (4.5), которое может быть найдено, например, с помощью функции Коши:

.

Итак

,   .

    Построим  на :

    Аналогично строим  и :

 ,

Построим  по формуле (4.3):

,

Тогда функция Грина задачи (2.1) - (2.7) определяемая по формуле (4.2), имеет вид:

,

где  ,

H(x,s) определяется по формуле (4.4).

5. Решение дифференциального неравенства .

Рассмотрим задачу (2.1)-(2.7).

Теорема 3.

Если  на Г, то   на Г.

Доказательство.

Возможны 3 случая:  

1) ; 2) ; 3) .

Рассмотрим 1-ый случай:  

Если ,  и  функция  убывает на . Так как , то  , . Пусть , . Функция  убывает, возможны 3 случая: 1.1 ; 1.2 ; 1.3 . Рассмотрим случай 1.1: Если  убывает и положительна на , то  на . Тогда, учитывая условие (2.1): ,  возрастает от точки  до  и, имеем  на .

Из условия непрерывности (2.3) имеем:  и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно,  функция  возрастает от точки  до . Тогда  на .

Из условия непрерывности (2.4) имеем:  и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция  возрастает от точки  до . Тогда  на , что противоречит условию (2.2): .

Рассмотрим случай 1.2: Функция  убывает и  из этого следует, что  на . Тогда, учитывая условие (2.1): ,  убывает от точки  до и, имеем:  на .

Из условия непрерывности (2.3) имеем:  и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно, функция  убывает от точки  до . Тогда  на .

Из условия непрерывности (2.4) имеем:  и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция  убывает от точки  до . Тогда  на . Что противоречит условию (2.2): .

Рассмотрим случай 1.3: Функция  убывает и , . Так как , то функция  возрастает от точки  до . Так как  функция  убывает от точки  до , и по условию (2.1): . Из условий (2.5),(2.6) имеем: , из условия непрерывности  и так как , то функция  убывает от точки  до  и  на . Из условия непрерывности  и так как функция  убывает от точки  до , и по условию (2.2): , следует, что  внутри  и . Следовательно функция  на Г, и  на .

Рассмотрим 2-ой случай: 

Пусть теперь . Если ,  и функция  убывает на . Так как , то  , . Пусть , . Функция  убывает, возможны 3 случая: 2.1 ; 2.2 ; 2.3  и .

Рассмотрим случай 2.1: Если  убывает и положительна на , то  на . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и , то  на . Тогда  возрастает от точки  до , и по условию (2.1): , следует, что  на .  Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  возрастает от точки  до , из условия непрерывности: , следует, что  на , что , противоречит условию (2.2).

Рассмотрим случай 2.2: Если функция  убывает и  на , то  на . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и , то  на . Тогда  убывает от точки  до , и по условию (2.1): , следует, что  на . Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  убывает от точки  до , из условия непрерывности: , следует, что  на , что , противоречит условию (2.2).

Рассмотрим случай 2.3: Если функция  убывает и  и . Так как , то  возрастает от точки  до . Так как , то  убывает от точки  до . Тогда, из условий баланса имеем:

 и . Так как  на  и , то  на . Тогда  возрастает от точки  до , и по условию (2.1): , следует, что  на .  Из условия непрерывности .

Так как  на  и , то  на . Тогда функция  убывает от точки  до , из условия непрерывности: , следует, что  на . Следовательно функция  на Г, и  на .

Рассмотрим 3-ий случай: 

Заметим, что если поменять направление на каждом из , , на противоположное, то рассуждения случая 3 будут аналогичными рассуждениям при доказательстве случая 1.

Следствие: Если  на Г, то  внутри Г и  на .

ЛИТЕРАТУРА

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука,1969.-424с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. И.Е. Морозова – М. :Наука, 1964.- 272с.

4. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров М. : Физматлит, 2004.- 272с.