Основные понятия теории краевых задач на графах

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Математический факультет

Кафедра функционального анализа и операторных уравнений

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ ДЛЯ СТРУННОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛОМ

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Специальность – 010101 Математика

010109 – Функциональный анализ

Допущено к защите в ГАК

Воронеж2009

Оглавление

Введение…………………….……………………………….………..стр.2

1. Основные понятия теории краевых задач на графах………………………………………………...…......……….стр.3

2. Постановка краевой задачи…………………….………………стр.6

3. Невырожденность………………………..……..………………стр.9

4. Построение функции Грина задачи………………...…………стр.12

5. Решение дифференциального неравенства…………...............стр.16

Введение

Дипломная работа посвящена актуальной в последнее время теории дифференциальных уравнений на графах, в частности графах с циклом. Изучаемый граф интересен тем, что, имея ясную физическую природу, он содержит главные особенности, порождающие дополнительны проблемы в задачах на графах, а именно: сложные стыковки и наличие цикла.

В первой части работы приводятся основные понятия теории дифференциальных уравнений на графах [1], [2],[3].

Во второй части работы дано подробное описание модели «треугольник из струн» и по классической вариационной схеме Лагранжа [4] построена неоднородная краевая задача для исследуемой модели.

Используя классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке и качественные методы задачи Штурма-Лиувилля [4] на графе для построенной неоднородной задачи для изучаемой модели, в третьей части исследована соответствующая однородная задача. Получено условие невырожденности построенной неоднородной задачи.

В четвертой части построена функции Грина, позволяющая представить решение исследуемой задачи в интегральном виде.

В пятой заключительной части работы было исследовано дифференциальное неравенство . Было установлено, что при неотрицательной правой части неоднородной задачи, ее решение неотрицательно.

Основные понятия теории краевых задач на графах

Напомним основные определения из теории краевых задач на графах.

Геометрическим графом  в  называется объединение непересекающихся интервалов = ,  (называемых ребрами), и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначается через , каждая точка из  называется внутренней вершиной графа . Концы интервалов , не включенные в , называются граничными вершинами , их множество обозначим через .Обозначим множество всех вершин графа  через , и объединение всех ребер - . Тогда .

     Будем говорить, что вершины  и c примыкают к ребру , а ребро  примыкает к вершинам  и . Для каждой вершины  введем множество , состоящее из  и всех ребер, примыкающих к .

      Будем рассматривать вещественнозначные функции , сужение которых на ребро ,  будем обозначать .

    Для каждого ребра  можно ввести натуральную параметризацию по формуле , где  и  - длина ребра . При выбранной параметризации ребра  функция  оказывается обычной функцией на промежутке из .

    Если рассматривать замкнутые ребра , то считать его параметризацией  при .

    Производная на графе определяется следующим образом. Если для данной параметризации  ребра при , оказывается, что для функции  при всех  и  существует производная , то будем говорить, что на  определена производная . При этом на ребре и в вершинах из  имеем , если , а в каждой вершине  имеем набор производных  для ребер , примыкающих к a. Аналогично определяются производные высших порядков . Заметим, что на каждом ребре можно ввести две натуральных параметризации с противоположной ориентацией, и, естественно, производные первого порядка зависят от ориентации ребра, а производные второго порядка – нет. При формулировании условий согласования, нам удобнее пользоваться производными по направлению “от вершины”, которые будем обозначать .

       Через  обозначим множество, определенных на ребре  равномерно непрерывных функций, для которых существуют равномерно непрерывные производные до порядка n. Легко видеть, что функцию  можно доопределить предельными значениями до функции из , за доопределенной функцией сохраним прежнее обозначение.

      Будем писать , если  и сужения . Во внутренних вершинах графа Г каждая из таких функций может иметь различные пределы вдоль различных ребер, примыкающих к одной вершине . Если все пределы  вдоль ребер  совпадают, то для них будем использовать обозначение .

      Введем пространства: .

      Основным объектом исследований является следующая краевая задача на графе .

                                                                       (1.1.)

                              (1.2.)

                                              (1.3.)

,                         .                               (1.4.)

       Решением задачи назовем функцию , удовлетворяющую уравнению (1.1.) на  и всем условиям (1.2.) - (1.4.).

       При исследовании разрешимости задачи будем рассматривать однородную задачу:

                                                                         (1.5.)

                               (1.6.)

                                              (1.7.)

,                         .                               (1.8.)

Постановка краевой задачи.

    Рассмотрим струнную систему,

состоящую из трех струн, образующих треугольник, одна вершина которого закреплена:

,                                             (2.1)

,                                             (2.2)

а к двум другим вершинам прикреплены колечки, одетые на спицы:

,                                    (2.3)

                                     (2.4)

Обозначим всю геометрическую систему через . Рассмотрим на Г скалярную функцию  такую, что .  Сужение функции  на , , и  обозначим ,  и  соответственно.

Будем считать, что на систему действует сила с плотностью . Функции  и ,        

характеризуют упругость струн.

Будем считать, что смещение точек механической системы от поло­жения равновесия происходит параллельно некоторой прямой под дейст­вием внешней нагрузки, направленной вдоль этой прямой.

Общая потенциальная энергия системы, соответствующая возможной деформации  может быть представлена в виде функционала:

.                         (2.8)

Согласно вариационному принципу: «Реальная деформация системы, отвечающая устойчивому равновесию, должна давать минимум потенциальной энергии».

Теорема 1.                  

Пусть потенциальная энергия рассматриваемой системы определяется функционалом (2.8), тогда для , удовлетворяющих условиям (2.1)-(2.4), стационарное значение  функционала (2.8) удовлетворяет уравнениям:

,                                       (2.7)

и условиям

.                                       (2.5)

.                                      (2.6)

Доказательство.

Пусть min = ,

тогда , , и удовлетворяет условиям (2.1) - (2.4)

Найдем:  

 После интегрирования по частям 

,

 получим:

                              (2.9)

Выбирая , , ( ) получаем уравнение Эйлера:

 на ,  .  Тогда, учитывая (2.1) и (2.2),  уравнение (2.9) примет вид:

     (2.9’)

Если  в остальных случаях, тогда получаем , т.е. (2.5)

Пусть условие (2.5) выполнено для любого h, тогда из уравнения (2.9’), учитывая условия непрерывности (2.4) получаем условие (2.6).

Таким образом, на Г построена неоднородная задача:

,                                             (2.1)

,                                             (2.2)

,                            (2.3)

,                            (2.4)

,                   (2.5)

,                   (2.6)

                           (2.7)

Соответствующая ей однородная задача имеет вид:

,                                             (2.1)

,                                             (2.2)

,                            (2.3)

,                            (2.4)

,                   (2.5)

,                   (2.6)

                           (2.7’)

Невырожденность.

Рассмотрим неоднородную задачу (2.1) – (2.7).

По левым частям равенств (2.1) – (2.6) построим функционалы ,

По левой части равенства (2.7) построим дифференциальный оператор:                        

Тогда неоднородная задача (2.1) – (2.7) сводится к задаче:

, .                                    (3.1)

А однородная задача (2.1) – (2.7’) к задаче:

                                    , .                                  (3.2)

Теорема 2.(Условие невырождености).

Задача (3.1) для  имеет только тривиальное реше- ние.

Доказательство.

Так как  на , , то ,

В частности на  имеем

Возможны 3 случая: , , .

1) Если

 Из  следует, что функция  возрастает от точки  до , и так как , то  на . Тогда .

Из условия непрерывности (2.3) имеем: .

Из условия (2.5) получим,

= , что равносильно равенству:

Из  следует, что функция  возрастает от точки  до , и так как , то  на . Тогда, , что из условия непрерывности (4) имеем: .

Из условия (2.6) получим:

= , что равносильно равенству: .

Из  следует, что функция  возрастает от точки  до , и так как , то  на . Тогда, , что противоречит (2.2). Следовательно случай  невозможен.

2) Аналогично, при так же придем к противоречию (2.2)

3) Если .

Из  следует, что функция , и так как , то  на . Следовательно, .

Из условия непрерывности (2.3) и условия (2.5), имеем:

= .

Тогда , и ,а это означает, что  на . Следовательно, , что по условию непрерывности (2.4) означает: .

Из равенства (2.6) имеем,

= .

Тогда , и ,а это означает, что  на .

Итак, из трех рассмотренных случаев возможен только один:

, при котором  на , .

 Итак,  на  Г.