П2.1 Основные уравнения динамики

Одномерных стационарных течений

К одномерным течениям относят такое движение жидкости, когда продольные размеры потока во много раз превосходят поперечные, например, в трубах, каналах, реках и т.д.

В качестве характеристик поперечного сечения потока применяют:

· площадь сечения S;

· среднюю скорость в сечении

где u – скорость в данной точке сечения;

· массовый и объемный секундные расходы

· смоченный периметр χ– длина соприкасающейся с жидкостью дуги границы нормального сечения трубы или канала;

· гидравлический диаметр D_Г– отношение учетверенной площади нормального сечения к смоченному периметру:

.

Иногда в качестве характеристики используется гидравлический радиус:

При одномерном установившемся движении основные уравнения гидродинамики могут быть существенно упрощены.

Уравнение неразрывности вырождается в уравнение постоянства расхода:

Илиприρ= const:v₁S₁ = v₂S₂.

Здесь v₁и v₂ – модули средних скоростей в сечениях (рис. П2.1).

Рис. П2.1

Уравнение количества движения принимает вид формулы Эйлера

где -сумма внешних сил, объемных и поверхностных, действующих на выделенный сечениями 1 и 2 объем жидкости.

Уравнение кинетической энергии записывается в виде уравнения Бернулли для реальных потоков

Все члены этого уравнения имеют размерность длины и их в гидромеханике именуют высотами или напорами:

z – нивелировочная высота или просто высота;

– скоростная высота.

Коэффициент α(коэффициент Кориолиса) представляет собой отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости. Для равномерных течений α= 1.

– пьезометрическая высота.

Dh₁₂– удельная мощность внутренних сил на участке 1–2, или потеря полного напора (гидравлические потери).

Для идеальной жидкости уравнение Бернулли примет вид:

где H – гидравлическая или полная высота;

– потенциальный или пьезометрический напор;

– скоростной (кинетический) напор.

В единицах давления уравнение Бернулли принимает вид:

Здесь p – статическое давление;

ρgz – весовое давление;

– – кинетическое давление.

Линия, характеризующая изменение пьезометрического напора вдоль течения называется пьезометрической линией. Ее уклон называется пьезометрическим уклоном:

Здесь l – длина.

Линия, проведенная по отметкам гидродинамических напоров, называется напорной линией (линией энергий), а ее уклон:

называется гидравлическим уклоном. Принято считать пьезометрический и гидравлический уклоны положительными, если они направлены в сторону движения жидкости (рис.П2.2).

Гидравлический уклон мыслим только в вязкой жидкости. Он всегда направлен в сторону движения жидкости. Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону движения, так и в противоположную сторону.

Рис. П2.2

П2.2 Гидравлические потери

Все потери при одномерном течении принято разделять на потери по длине и местные потери. Иначе, потери полного напора называют гидравлическими сопротивлениями.

Природа гидравлических сопротивлений достаточно сложна. Они зависят от сил внутреннего и внешнего трения, а также от геометрии твердых границ. Их теоретическое исследование слишком сложно и поэтому на практике пользуются экспериментальным изучением.

Гидравлические потери самым существенным образом зависят от режима течения жидкости. Можно выделить два режима движения жидкости: ламинарный, при котором частицы жидкости движутся слоями, без перемешивания, и турбулентный, с беспорядочным перемешиванием.

Переход от ламинарного к турбулентному режиму происходит при некотором критическом числе Рейнольдса.

где v – средняя скорость, d – характерный размер (гидравлический диаметр сечения), μ – коэффициент динамической вязкости.

Размерность коэффициента вязкости

динамического [μ] = Н с/м²,

кинематического [ν] = [μ/ρ] = м²/c.

Обратный переход от турбулентного режима к ламинарному произойдет при гораздо меньшем числе Рейнольдса. Экспериментально установлены верхнее и нижнее числа Рейнольдса

Потери напора по длинекруглого трубопровода могут быть найдены по формуле Дарси - Вейсбаха

где  – коэффициент потерь по длине,λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси); v – средняя скорость.

Коэффициент гидравлического трения при Re<2300 (ламинарный режим) может быть подсчитан по формуле Пуазейля

При Re>2300 (турбулентный режим) – по формуле Альтшуля

Здесь δ – средняя шероховатость (высота бугорков стенок) трубы (мм).

При расчетах можно брать значенияδиз таблицы П2.1.

В единицах давления запишем

В области переходного режима (2300 <Re<10d /δ) для гладких труб имеем формулу Блазиуса:

Потери напора на местных сопротивленияхнаходятся по формуле Вейсбаха

где ξ_М– коэффициент местных потерь напора, v – средняя скорость за сопротивлением (кроме случая резкого расширения).

В единицах давления – .

Для некоторых местных сопротивлений коэффициенты потерь приведены в таблице П2.2.

Таблица П2.1

Таблица П2.2

Таблица П2.3

Приложение 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков