Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Система древнерусских саженейСтр 1 из 6Следующая ⇒
ОГЛАВЛЕНИЕ. Аннотация Из истории исследования древнерусских измерительных инструментов Литература Изучение взаимосвязей древнерусских саженей показало их кратность золотому числу Ф = 1,618. Необычный способ получения мерных частей саженей методом раздвоения-удвоения обусловил нахождение А.А. Пилецким древнерусского всемера - числовой матрицы многовариантного золотого пропорционирования. Исходя из нее построена русская матрица золотых пропорций - бесконечное поле взаимосвязанных степенных чисел, базирующихся на египетском ряде золотого сечения, которая лежит в основе многих математических магических построений. Степенная взаимосвязь каждого ряда чисел позволяет применять вурфные отношения для контроля самых различных материальных процессов. На ней основываются понятия живых и неживых фигур, методы системного пропорционирования, символика крестовых фигур и структура древних сооружений. Анализируются принципы церковного зодчества на примерах храмов XII -XVI вв. Объясняется непригодность для проживания объектов, пропорционированных метром. Выяснилось, что зодчие Древнего Египта знали русскую матрицу, и все объекты древности, включая египетские пирамиды, проектировались и строились на основе комплекса древнерусских соизмерительных инструментов. Издание снабжено изящными иллюстрациями, имеющими символический смысл и гармонично сочетающимися с текстом. Книга рассчитана на архитекторов, дизайнеров, художников, строителей, историков, читателей, интересующихся применением метода золотых пропорций в различных областях знаний, а также специалистов и любителей древнерусской культуры.
Первая работа "Золото Руси", посвященная золотым пропорциям в системе древнерусских измерительных инструментов, была издана в соавторстве с С.В.Тарасовой. За прошедшие три года найдено еще несколько методов, расширяющих представления о золотых пропорциях, и способов применения совершенно необычной системы мерных линеек как в Древней Руси, так и в Древнем Египте. Особенно существенным результатом стало некоторое понимание физических процессов, обусловивших необходимость одновременного использования нескольких видов мер при измерении одного и того же сооружения. И в частности, найден подход к объяснению живых и неживых фигур и соответствия им сооружаемых объектов. Когда рукопись данной работы была передана в издательство, мне в руки попалась книга "Золотое сечение" И.Ш.Шевелева, М.А.Марутаева, И.П.Шмелева, в которой проводится анализ размерной структуры нескольких древнерусских церквей способом "парных мер" и предполагается, что мерило новгородского зодчего подтверждает наличие у древних зодчих системы парных мер. Анализ размерной структуры тех же церквей методом "Всемера" А.А.Пилецкого выявил иную систему использования древних саженей, что обусловило необходимость внесения в работу нового раздела "Таинство церковного зодчества". В этом разделе показаны принципы пропорционирования, заложенные в мерило новгородского зодчего. Новый материал, по мнению автора, представляет, значительный интерес как для специалистов, так и для самых разных читателей. За публикацию этой книги и сотворчество я выражаю свою искреннюю признательность издателю и редактору С.Н Удаловой и художнику А. В. Гусельникову.
ИЗ ИСТОРИИ ИССЛЕДОВАНИЯ Мемфис и пурпур финикии В древнерусской числовой системе архитектурного пропорционирования, которая функционировала задолго до монгольского нашествия, в качестве единиц измерения использовался некоторый набор инструментов под общим названием "сажени". Причем саженей было несколько, разной длины и, что особенно необычно, они были несоразмерны друг другу и использовались при замере объектов одновременно. Историки и архитекторы затрудняются установить их количество, но признают наличие не менее семи типоразмеров саженей, которые при этом имеют собственные названия, определяемые, по-видимому, характером предпочтительного применения. О том, когда зародилась эта удивительно "нелепая", собранная, как полагают археологи и архитекторы, заимствованием "с миру по нитке", древнерусская система измерительных инструментов, неясно. Различные авторы по-разному определяют время ее возникновения. Некоторые, как, например, Г.Н. Беляев [1], полагают, что она полностью была заимствована у соседей в виде филатерийской (Греция) системы мер и "...занесена на русскую равнину, вероятно, задолго до утверждения там славян в III - II вв. до Р.Х. из Пергама через малоазиатские греческие колонии". Г.Н. Беляев фиксирует самое раннее время появления системы мер на территории Древней Руси. Другие, как Б.А. Рыбаков, Д.И. Прозоровский [2,3], полагают, что большая часть этих мер была "образована" у славян в период XII - XIII вв. и развивалась, совершенствовалась до примерно XVII в. Но и эти авторы, как и многие другие, не исключают привнесения в древнерусскую систему измерительных инструментов из других сопредельных и отдаленных стран. Таким образом, между двумя крайними наметками времени появления на Руси саженей как измерительных инструментов прошло почти полтора тысячелетия. Но вот Б.А. Рыбаков в своей работе [4] приводит весьма показательные сведения об инструментах зодчего, содержащиеся в "Сказании о Соломоне и Китоврасе", по которому царю Соломону (кстати исторической личности, прославившемуся своей мудростью и правившему в X - IX вв. до н.э., а значит, легенда имела под собой определенные основания) потребовалось произвести начертание плана задуманного им храма и для выполнения этой работы был приглашен зодчий Китоврас: "Сказание о Соломоне и Китоврасе" сохранило нам древнерусское наименование архитектурного плана - "очертания". Соломон говорит Китоврасу: "Не на потребу тя приведох собе, но на упрос очертания святая святых". Самым важным в этом эпизоде является то, что Китоврас, зная заранее, что он призван царем для изготовления плана будущего храма, явился к нему с деревянными мерилами, эталонами каких-то мер: "Он же (Китоврас), умеря прут 4 локоть и вшед пред царя, поклонился и поверже пруты пред царем молча...". Здесь для нас особенно интересно то, что главными инструментами архитектора, необходимыми ему для "очертания", являются деревянные мерила (описанные во множественном числе) по 4 локтя в каждом. Обращение к древнерусской метрологии показывает полную достоверность сообщения "Сказания": во-первых, в древней Руси каждая сажень подразделялась именно на 4 локтя; такое деление просуществовало до XVI в. Очевидно, волшебный архитектор Китоврас был наделен автором сказания реальными принадлежностями русского зодчего в виде изготовленных из дерева саженей, подразделенных на 4 локтя." Б. А. Рыбаков отмечает, что автор сказания наделил Китовраса реальными принадлежностями русского зодчего XII -XVII вв., т.е. как бы перенес измерительные инструменты Древней Руси в ту эпоху и в ту область, где, по существующим воззрениям, их и быть не могло, отодвинув при этом время их возникновение еще почти на тысячу лет. К тому же Китоврас явился с несколькими саженями, а это означает, что, по сказанию, ко времени Соломона славянский комплекс из нескольких измерительных длин уже представлял систему взаимосвязанных инструментов. А в данную интерпретацию Б.А. Рыбаков, по-видимому, поверить не мог. Однако, как будет показано далее, древнеславянская система измерительных инструментов ко времени царя Соломона существовала несколько тысячелетий и, в частности, именно комплекс данных саженей давал те мерные единицы, которые использовались для проектирования и возведения древнеегипетских пирамид, а это около пяти тысяч лет тому назад. Но и это не все. Еще более древние сооружения Египта - Осирион в Абидосе, нижний храм пирамиды Хафра (храм долины; и знаменитый большой сфинкс - построены с применением того же измерительного славянского комплекса. А возраст этих сооружений где-то 10 - 15 тысяч лет. То есть система саженей имеет почтенный возраст, который уходит за пределы нашего исторического восприятия. Методы расчетов сооружений древнейшими зодчими нам совершенно неизвестны, не намного больше знаем мы о методах расчетов, применяемых славянскими зодчими, и потому, как упоминает Б.А. Рыбаков, сомневаемся в том, что они в своих расчетах "отправлялись от теоретически безукоризненных положений великого греческого геометра" (подразумевается Эвклид). Однако, прежде чем начинать теоретические изыскания, необходимо понять, чем вызвано появление множества саженей и как свести его к отдельным эталонным размерам. Отмечу, что наличие двух и тем более нескольких эталонов измерительных инструментов для проведения одной и той же операции кажется современным исследователям величайшей нелепицей, логическим нонсенсом, пережитком архаической древности, когда первобытные люди, как полагают специалисты, еще не понимали логики своих действий. Сразу же возникает вопрос: зачем использовать даже две неодинаковые длины для проведения одной и той же операции измерения? Ведь вполне можно обойтись одной, как обходится сейчас весь мир одним метром. Ни метрических, ни физических объяснений этому "парадоксу" в современной науке не находится. Да и отрицать однозначно наличие нескольких измерительных инструментов тоже не приходится, поскольку были и другие государства, имеющие в пользовании по два, три измерительных инструмента, например Египет, где в ходу было одновременно три локтя разной длины. Древнерусские же системы саженей имели не два, не три размера по длине, а десятки, если не сотни, и это совсем непонятно. Чем обусловлено это множество инструментов, какие закономерности в них зашифрованы, какая методика использовалась при замерах объектов - практически ничего неизвестно. Вот уже почти два столетия ученые пытаются восстановить секреты возникновения "невзаимосвязанных" измерительных инструментов и привести это множество к минимальному количеству типоразмеров, опираясь на определенные исходные предпосылки, чаще всего связанные с пропорциями человеческого тела или с пропорциями геометрических фигур, например квадрата. По-видимому, отсутствие теоретического обоснования структуры древнерусских саженей, их несоизмеримость и несовместимость как по длине саженей, так и их составных частей, подвигли академика Б.А. Рыбакова на выяснение теоретических основ комплекса славянских измерительных инструментов. Поскольку, по мнению автора, именно Б.А. Рыбаков и архитектор А.А. Пилецкий ближе других подошли к пониманию системной взаимосвязи древних мер, в дальнейшем преобладают ссылки на их работы. Рассмотрение саженей в работе [2] Б.А. Рыбаков начинает с предположения о существовании на Руси локальных различий в метрологии и выделяет две наиболее распространенные системы: новгородско-псковскую и московско-владимирско-черни-говскую. В следующей работе [4] о локальности не упоминается, а просто констатируется существование одновременно в Древней Руси с X по XVIII в. только 7 видов саженей и локтей (вероятно, московских). Отмечается, "..что очень мелких и дробных делений в Древней Руси не применяли, а использовали многообразие мер, применяя, скажем "локти" и "пяди" разных систем". Подчеркну, что такой составной и очень важный для понимания всей системы элемент структуры саженей, как вершок, в работах Б.А. Рыбакова не упоминается. Приведу таблицу 1 выделенных им длин саженей, включив в нее дополнительно вершок (размеры которого выделены жирным шрифтом): Таблица 1
То, что указанные в таблице типоразмеры охватывают не весь спектр используемых на Руси саженей, можно констатировать по той же работе, из которой извлечена таблица 1. Приведем пример [4] замера одного и того же объекта двумя саженями. Вот описание этого замера: "...При постройке засечной черты в 1638 г. "валили вал в ширину 25 саженей косых, а простых 40 саженей". Итак, ширина в 25 саженей косых, по Б.А. Рыбакову, в переводе на метры — 54,00 м, а 40 саженей простых — 61,1 м., что не сходится на 7 метров, или более чем на 3 сажени косых. Для небольшой ширины ошибка внушительная, просто недопустимая. И чтобы ее не было, следует предположить, что существовала сажень, имевшая длину около 135 см. Позже мы убедимся в том, что такая сажень действительно существовала, а пока констатируем ее отсутствие в таблице 1. Отмечу, что записи саженей и в таблице 1, и у всех исследователей до А.А. Пилецкого [10] следуют в порядке либо возрастания их длины (как в таблице 1), либо ее уменьшения, и именно эта последовательность определяет последующий подход к анализу пропорций саженей. Данная последовательность и бытовое определение названий наиболее ходовых саженей и их частей (косая, маховая, локоть, стопа, пядь, пясть и т.д.) делают как бы само-собой разумеющимся предположение о том, что «в основу меры положена часть человеческого тела». И «... причина сходства всех мер — элементарно простое движение рук человека или частей тела...» и даже само название «сажень», как полагают, происходящее от слова «сягать» — шагать [4,7], тоже свидетельствует об этом. Одновременно это свидетельствует и о том, что в основу системы саженей не были заложены теоретические положения евклидовой геометрии. Но если первоосновой саженей как измерительных инструментов послужили «части человеческого тела», то возникают три достаточно простых вопроса: Каким образом индивидуальные длины частей тела множества людей были усреднены до стандартной длины? Каким образом эта длина сохранялась в течение столетий и тысячелетий при отсутствии каких бы то ни было общегосударственных стандартных эталонов? Какие обстоятельства способствовали превращению разрозненных несоизмеримых инструментов в единую взаимосвязанную систему и в чем это единство заключается? Теоретически обоснованного ответа на эти вопросы автору, к сожалению, обнаружить не удалось, но в какой-то мере этот вакуум в первом приближении заполняет версия, выдвинутая Б. А. Рыбаковым, о возможной теоретической основе, предположительно использованной для получения взаимосвязанной системы саженей, позволяющей создавать «соразмерные и удивительно гармоничные объекты». О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ Анализируя функции саженей, Б.А. Рыбаков отмечает следующие особенности их применения [4]: Останавливаясь на сопряженности древнерусских саженей, Б.А. Рыбаков показывает, что если ее представить как квадрат со стороной, равной длине прямой сажени 152,7 см, то косая сажень окажется диагональю этого квадрата: Рис. 1. "Вавилоны" [4] То же соотношение просматривается между мерной (176,4 см) и великой (249,46 см) саженями: Исходя из этой пропорциональности Б.А. Рыбаков строит "вавилон", восстанавливающий остальные сажени (рис. 2) по системе вписанных и описанных размеров саженей. В дополнение можно показать, что квадрат, построенный на окружности, описывающей "вавилон" Б.А. Рыбакова, будет иметь своей стороной сажень косую (рис.2). Отмечу также, что у всех "вавилонов", найденных в археологических раскопках, отсутствуют диагонали, без которых восстановление мерных инструментов невозможно. А это свидетельствует о том, что знание пропорций саженей относилось к сокровенному знанию, которое мастера передавали ученикам и не допускали его выхода за пределы гильдии посвященных. Рис. 2. "Вавилон" русской меры [4] Продолжая изучение свойств "вавилонов", Б.А. Рыбаков нашел следующие закономерности, определяющие соотношения между саженями (рис. 3). Если возьмем половину длины наиболее распространенной мерной сажени 176,4/2 = 88,2 = А,
Здесь пропущена зависимость А 7 = 88,2 х 2,64575 = 233,4 см - сажень греческая, которая также не содержится в таблице 1, но часто встречается при обмерах древних сооружений, а позже будет представлена в системе А.А. Пилецкого. Все операции, предлагаемые Б.А. Рыбаковым, очень хорошо описывают найденную им структуру получения длин саженей и имеют три существенных недостатка: Рис. 3. Геометрическая система древнеруссских саженей [4] Поскольку метод "вавилонов", как свидетельствуют находки, применялся древними мастерами для пропорционирования саженей по некоторым эталонам, то естественно, что они пользовались им без знания дробей и извлечения корня. Не исключено, однако, что они использовали способы восстановления размеров по любой сохранившейся сажени и даже при отсутствии эталона - по любому прутку с размером, близким к пропорции, человека, например построением треугольных фигур. Этот метод можно назвать методом "наугольников" (наугольник - плотницкий инструмент треугольной формы [5]). Он заключается в следующем (рис 4): допустим, что эталонная сажень не сохранилась и ее требуется восстановить. Тогда берется деревянный пруток длиной, допустим, в рост плотника. Возьмем для примера рост плотника 172 см, что почти соответствует мерной (маховой) сажени, и примем его за базисную длину. Если три прутка данной длины сложить равнобедренным наугольником, то высота в нем будет равна 148,96 см, что по структуре соответствует сажени простой, да и по длине близко к ней. Если к центру мерной сажени под прямым углом приставить другую мерную сажень и соединить их свободные концы длинными прутками, то получим равносторонний наугольник, длинные стороны которого равны 192,30 см, а это аналог "сажени без чети". Возьмем две полученные простые сажени, соединим их концы под прямым углом и, соединив свободные концы длинным прутком, получим расстояние, равное 210,66 см - аналог сажени косой. Если такую же операцию проведем мерными саженями, получим длину 243,24 см - по назначению аналог сажени великой. И последняя сажень - трубная. Последняя получается, когда к центру косой сажени под прямым углом приставляется сажень простая. При соединении их свободных концов получают равносторонний наугольник, две стороны которого будут иметь длину 182,44 см, что как раз и является аналогом длины трубной сажени. Рис. 4. Наугольники Восстановление основных саженей закончено. И только морская сажень (в существовании которой как самостоятельного измерительного инструмента сомневается и Б. А. Рыбаков) не восстановлена. Длины всех полученных саженей отличаются от Длин, приведенных в таблице 1, строго на один и тот же коэффициент 1,0255. А это означает, что восстановленные длины саженей с очень высокой точностью сохраняют между собой пропорциональность. Последнее свидетельствует о том, что главное для древних зодчих заключалось не в сохранении эталонной длины отдельных саженей (вот основная причина появления множества типоразмеров саженей, имеющих различную длину), а в соблюдении строгой пропорциональности между ними. Но какова численная величина этой пропорциональности, почему длины саженей выражаются иррациональными числами и зачем надо пользоваться при замерах разными саженями? Данные методы ответа на эти вопросы не дают. Надо отметить, что Б.А. Рыбаков сам нашел соизмеримость саженей методом квадратов и треугольников, но, по-видимому, не допускал возможности восстановления соизмеримости по прутку любого размера, поскольку предполагал единственное назначение саженей - служить инструментом для измерения длин. И еще одно. Наиболее точно размеры одного из рисунков "вавилона" были определены на глиняной плите, найденной в старой Рязани на уровне пола в западном притворе Борисоглебовского собора, построенного в середине XII в. ("вавилон" изображен в правом нижнем углу рис. 3). "Вавилон" имел в длину 25,83 см, а в ширину 18,26 см. То есть длина как бы определялась произведением: Но размеры эти древние зодчий получали без привлечения иррациональных чисел и сантиметровых измерений: Древние зодчий строили объекты и геометрию фигур только саженями на полную длину или целыми частями саженей, что и подтверждается структурой внешних размеров "вавилона". Тем же способом построен и его срединный прямоугольник, имеющий длину, 18,27 см, а ширину 12,91 см. Данная ширина складывается из вершка косой сажени 6,75 см плюс вершок "сажени без чети" (6,16 см): Поскольку Б.А. Рыбаков не использовал вершков в своих построениях, он эти взаимосвязи у рязанского "вавилона" не обнаружил. Но на новгородском мериле он обнаружил очень интересные взаимосвязи в структуре применяемых саженей и возможности их использования для производства работ, связанных круглыми конструкциями объектов. А теперь сделаем небольшое отступление и познакомимся с очень необычным и интересным соизмерительным инструментом. В 1970 г. при раскопках в Новгороде, недалеко от церкви Параскевы Пятницы (год постройки 1207, семьсот девяносто лет назад) в слоях начала XIII в. были найдены обломки деревянного мерила с тремя шкалами крупных и мелких делений, построенных в десятичной системе [6]. Мерило представляло собой два обломка четырехгранного елового бруска размером 28 x 36 мм общей длиной 54 см. Следует отметить, что найденный облом мерила вызвал большой интерес у специалистов потому, что это был первый древний инструмент с системой трех шкал, все деления которого имели различную длину и целое число раз укладывались в некоторых саженях. К тому же структура деления трех его шкал не соответствовала принятой на Руси системе пропорционирования, на шкалах сохранившегося облома отсутствовали какие либо цифры или знаки, а потому становилась неясной и методика применения мерила. Тем не менее Б.А.Рыбаков и И.Ш.Шевелев, опираясь на свои представления о методологии применения древних саженей, находят различные способы использования мерила в древнем зодчестве. Три грани бруска размечены длинными и короткими зарубками (рис. 5), относящимися к разным мерам. Сохранившиеся размеры таковы:
Содержание на одном мериле трех разных шкал, по мнению Б.А. Рыбакова, свидетельствует о том, что оно является расчетным архитектурным инструментом, и каждая шкала, по-видимому, пропорциональна какому-то измерительному инструменту (рис. 5). Рис. 5. Облом новгородского мерила [6] Как уже упоминалось, Б. А. Рыбаков определяет 7 видов саженей, имевших хождение на Руси, и считает достаточным для всех архитектурных операций зодческий минимум в три сажени. Этого числа саженей, по го мнению, хватает для проведения всех измерений, поскольку главное назначение нескольких саженей заключается в облегчении зодчему выполнения многочисленных работ, связанных с различными видами расчетов элементов конструкций, и их совмещения в одном объекте (рис. 6). Рис. 6. Реконструкция мерила (176,4 см) [6] Исходя из этих соображений он восстанавливает новгородское мерило в виде стержня, содержащего элементы набора частей длин трех саженей: мерной (маховой), великой (косой) и прямой (простой), но в необычном для древнерусских пропорций делении - каждая сажень делится на 21 элемент (рис. 6). Согласно Б.А. Рыбакову, это необычное деление дает древнему зодчему возможность оперировать элементами каждой сажени для воспроизводства архитектурных деталей и сооружений кругового очертания. Поскольку при любом диаметре круга, когда диаметр делится на 21 часть, в самом круге с большой точностью будут укладываться 66 таких же отрезков. Это деление известно с древности как отношение Архимеда в виде пропорции 22:7 = 3,1428, что и обусловливает возможность построения любой окружности с точностью до 0,05% и проведения операции перевода окружности и отрезка любой окружности (дуги) в линейные меры. Вернемся к нашим саженям. Познакомимся с другим подходом к изучению структуры этих инструментов, который предлагает архитектор А.А. Пилецкий, Прежде чем рассмотреть его метод, ознакомимся с элементами золотых пропорций, обеспечивающих архитектурным сооружениям оптимальные соразмерности. ЭЛЕМЕНТЫ ЗОЛОТЫХ ПРОПОРЦИЙ Откуда возникли представления о делении отрезков в крайнем и среднем отношениях, позволяющем получать золотое число Ф и пропорцию, названную Леонардо да Винчи «золотым сечением», нам неизвестно. Но уже в Древней Греции на основе золотого числа Ф - 1,618 посредством последовательного умножения (восходящая ветвь ряда) и деления (нисходящая ветвь ряда) базисной единицы на число Ф получали ряд из 11 чисел, имеющий название «золотого ряда», бесконечного в обе стороны: Каждое число этого ряда представляет собой иррациональную (бесконечную) последовательность цифр, округленных до 4 знаков. Каково собственное значение этих чисел и к какой геометрии они относятся — неизвестно тоже, а потому числа эти стоят на обочине и геометрии, и физики. Однако уже древние греки поняли, что есть в этих числах какая-то особенность, проявляющаяся в том, что объекты, построенные с учетом золотых пропорций, обладают высокими эстетическими качествами и благотворно влияют на человека. И в наше время обнаруживается, что все процессы, связанные с жизнедеятельностью живых организмов, в той или иной степени связаны с теми же золотыми числами, что и обусловливает все более интенсивное изучение этих связей, но, как это ни странно, не свойств и геометрии самих чисел. А они настолько удивительны, что следовало бы поподробнее познакомиться с ними. Один из элементов этих свойств — образование золотого прямоугольного треугольника. Об этом наше изложение. Прежде всего рассмотрим, что же дает нам деление отрезка в крайнем и среднем отношениях (рис.7). Отмечу, что в постановке задачи говорится о делении одного отрезка на две неравные части а и с так, чтобы весь отрезок (а + с) относился к большей части с, как часть с к меньшей части а. Запишем это отношение:
Пропорция (1) носит название золотой пропорции. Отметим, что в данном случае подразумевается конечная в рациональных числах длина отрезка (а + с), кратная некоторому измерительному инструменту. В условии задачи не говорится о невозможности его целочисленного или дробного рационального деления и о нерациональности двух (?) образующихся при делении отрезков. Это очень важная оговорка. Она подтверждает не преднамеренный, а как бы вероятностный или даже случайный характер деления. Проверим эту случайность. Решим (1), заменив отношение с:а на b:
Подставим (2) в (1), получим квадратное уравнение:
решая которое, находим величину b:
|