Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Системы счисления

Цель: познакомиться с позиционными системами счисления; научиться выполнять перевод из одной системы счисления в другую, научиться выполнять арифметические действия с числами разных систем.

Теоретические сведения

Позиционные системы счисления

Система счисления- принятый способ записи чисел и сопоставления этим запи­сям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена табл. 1.4, содержащая наименования некоторых позиционных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Таблица 1. Некоторые системы счисления

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления:

A_nA_n-1A_n-2... А₁А₀А_-1А_-2... =

= А_n*Вⁿ + А_n-1*В^n-1 + ... + А₁*В¹ + А₀*В⁰ + А_-1,*В^-1 + А_-2*В^-2 + ...

(знак «запятая» отделяет целую часть числа от дробной; знак «звездочка» здесь и ниже используется для обозначения операции умножения). Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными. Приме­ры (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

23,43₍₁₀₎ = 2* 10¹ + 3* 10° + 4* 10^-1 + 3* 10^-2

(в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом -число сотых долей единицы);

692₍₁₀₎ = 6*10² + 9*10¹ + 2.

(«Шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два».)

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основа­нием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В - остаток даст следующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произ­ведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Отметим, что кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления сущест­вуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

I(1)  V(5) X(10) L(50) С (100) D(500)    М(1000)

Примеры: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь ис­торический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число. Например:

Таким образом

25₍₁₀₎=11001₍₂₎.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0.73*2 = 1.46 (целая часть 1)

0.46*2 = 0.92 (целая часть 0)

0.92*2 = 1.84 (целая часть 1)

0.84*2 = 1.68 (целая часть 1) и т.д.

Получаем число в 2-ой системе счисления: 1011

В итоге

0,73₍₁₀₎ = 0,1011...₍₂₎.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить раз­личные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл. 1.5.

Таблица 1.5 Таблицы сложения и умножения в двоичной системе

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в стар­ший разряд - точь-в-точь как в десятичной арифметике:

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой интерес. Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с  клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатеричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста - гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью деления и умножения на 8. Например, переведем число 58,32₍₁₀₎:

(из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой)

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную произво­дится аналогично.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преоб­разования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для этого вос­пользуемся табл. 1. чисел от 0 до 15 (в десятичной системе счисления), представ­ленных в других системах счисления.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьме­ричный эквивалент. Например:

11011001 = 11 011 001, т.е. 11011001₍₂₎ = 331₍₈₎

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой».

Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем раз­биения данного числа на группы по 4 цифры - «двоичные тетрады»:

1100011011001 = 1 1000 1101 1001,т.е. 1100011011001₍₂₎= 18D9₍₁₆₎.

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадцатеричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

0,1100011101(₂) = 0,110 001 110 100 = 0,6164₍₈₎,

0,1100011101(₂) = 0,1100 0111 0100 = 0,С74₍₁₆₎.

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем - сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

Таблица 1.

Соответствие чисел в различных системах счисления

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную сис­темы и наоборот столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании.

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами. Для примера табл. 2. иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.

Рассмотрим еще один возможный способ перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую - метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основа­ния, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе. Например, число 114₍₁₀₎:

Итак, 114₍₁₀₎= 162(₈).

Таблица 2.

Таблицы сложения и умножения в восьмеричной, шестнадцатеричной системах

Сложение                                  Умножение

Пример 1.Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении):

а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875_(|0); в) 115,94₍₁₀₎.

Решение:

а) 464₍₁₀₎= 111010000₍₂₎;

б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎;

в) 115,94₍₁₀₎ - 1110011,11110₍₂₎ (в данном случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат 1 был округлен).