Исследование работы технической системы по ее математической модели на примере газового регулятора давления.

1. Принципиальная схема и описание работы регулятора.
Устройство регулятора поясняет его принципиальная схема,
приведенная на рис. 1.

Рис. 1. Принципиальная схема регулятора давления: 1 – регулирующий орган (пара «клапан-седло»); 2 – полость выходного (регулируемого) давления; 3 – задающее устройство (регулируемая пружина); 4- чувствительный элемент (мембрана); 5 – полость входного (высокого) давления.

Функция регулятора состоит в устойчивом (без автоколебаний) поддержании постоянным (с определенной точностью) выходного давления при изменении входного и расхода газа потребителями.

Регулятор работает следующим образом: в начале с помощью задающего устройства 3 устанавливается величина выходного регулируемого давления. Она определяется усилием, действующим на чувствительный элемент 4 со стороны задающего устройства 3 при определенном входном давлении и расходе газа. Затем, в случае изменения величины давления во входной полости 5 или расхода газа в процессе функционирования регулятора, меняется и величина давления в полости 2., в соответствии с чем нарушается силовое равновесие и чувствительный элемент 4, а также связанный с ним регулирующий орган I , перемещаются в новое положение. Причем, регулирующий орган требуемым образом изменяет приход газа в полость 2 и тем самым компенсирует с заданной точностью произошедшее в ней изменение давления.

2. Определение основных рабочих характеристик и постановка  задачи моделирования.
  Регулятор может работать в установившихся (равновесном и периодическом), а также в переходном режимах. При этом рабочим установившимся режимом является равновесный, а периодический (автоколебательный) режим является аварийным. Переходный режим должен обеспечивать переход от одного установившегося равновесного режима к другому при действии на регулятор возмущений.
  В соответствии с указанным основной рабочей характеристикой регулятора является статическая, устанавливающая связь выходного давления в установившемся равновесном режиме с давлением на входе в регулятор и расходом газа потребителями. Таким образом, задача моделирования сводится к разработке математической модели, позволяющей выявить влияние конструктивных параметров регулятора и внешних воздействий (давление на входе и расход газа потребителями) на установившееся значение выходного давления. Это позволит определить точность функционирования регулятора. Кроме того необходимо выявить как будет протекать переходный процесс в системе. Это позволит определить устойчивость процесса управления давлением.

3.  Построение математической модели.
Построение математической модели включает в себя две фазы: принятие допущений и математическое описание полученного идеализированного объекта (расчетной схемы).

а) Принятие допущений.
В качестве допущений принимаемых при построении модели регулятора, отражающей кибернетический аспект его функционирования, используются следующие:
 допущение о равновесности газа в полости низкого давления, т. е. о том, что параметры газа (давление, температура) в разных точках этой полости одинаковы и состояние газа можно охарактеризовать не распределенными по координатам, а сосредоточенными значениями названных параметров;
 допущение об адиабатичности процесса взаимодействия газа и стенок полости низкого давления;
 допущение о рассмотрении газа в полости низкого давления как идеального;
 допущение о том, что в реализуемом диапазоне перемещения подвижных частей регулятора жестокость пружины и коэффициент трения не изменяются;
 ряд других допущений.

б)    Описание расчетной схемы.
При описании расчетной схемы, приведенной на рис. 2. используется концептуальный подход, базирующийся на применении основных физических законов в их «чистом» непреобразованном виде.

                                   Рис. 2.

Закон сохранения энергии.

    Названный закон применяется к газу, находящемуся в полости низкого давления.

Изменение энергии газа dU за время dt составит:

              dU_н = (u₁ +  G₁ dt - (u₂ +  G₂ dt – δL ,

где (u₁ +  G₁ – секундный приход энергии в полость за счет поступающего в     нее газа ;

    (u₂ +  G₂ – секундный расход энергии из полости за счет уходящего из нее газа ;

    δL – энергия, подводимая или отводимая из полости в форме работы.

              δL = δL_V + δL₁ + δL₂

    δL_V – работа по перемещению чувствительного элемента ,

    δL₁ – работа, совершаемая поступающим в полость газом, по вводу в нее присоединяемой массы газа ;

    δL₂ – работа, совершаемая газом в полости, по выводу из нее отделяемой массы газа.

    После ряда преобразований уравнение закона сохранения энергии примет вид:

              dU_н / dt = h_в G_в – h_н G_н – p_н ,

где  h_в  и h_н – энтальпия газа высокого и низкого давления соответственно;    

    G_в и G_н – приход и расход газа в полость и из полости низкого давления соответственно;

    W_н – объем полости низкого давления.

Закон сохранения массы.

    Названный закон применяется к газу, находящемуся в полости низкого давления.

    Изменение массы газа dm_н за время dt составит:

              dm_н = G_в dt - G_н dt или  = G_в – G_н.