Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Взаимное расположение прямых на плоскости. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
A1/ A2= B1/ B2 =C1/ C2 (две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке либо совпадают либо параллельны) Условия параллельностисовпадает с условием коллинеарности векторов:A1/A2= B1/B2=C1/C2 Условия перпендикулярностиравносильно условию перпендикулярности их направляющих векторов a1 a2 A1*A2+ B1*B2+ C1*C2
40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать соответствующие формулы.. Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной системы Углом между прямой и плоскостьюназывается любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Пусть плоскость П,задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка Mo(Xo;Yo; Zo) . Тогда расстояние p от точки Mo до плоскости П определяется по формуле 41. Дать определение числовой последовательности, изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. и способы задания числовой последовательности. Числовая последовательность – это числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задать последовательность означает задать правило, по которому каждому номеру из ряда натуральных чисел соответствует одно и только одно действительное число. Способы задания последовательности: 1) формулой общего члена 2) рекуррентной формулой 3) словесным описанием 4) графически 5) точками на числовой оси Свойства числовых последовательностей: 1) монотонность Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый её член начиная со второго больше (меньше) предыдущего. 2) ограниченность Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что выполняется неравенство Xn≤М (Xn≥m).
42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства Арифметическая прогрессия -Это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом. хn+1=хn+d Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k: Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:
43..Дать определение геометрической прогрессия и изложить ее свойства. Геометрическая - это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число. хn+1=хn+q Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле: , Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле: Сумма n первых членов геометрической прогрессии: , при , при Если , то при , и при .
44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности. .Конечное число а называется пределом числовой последовательности {хn}, если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N( ) такое, что |хn - а| N. Обозначение: = м Критерий Коши: Число а называется пределом числовой последовательности {Xn} при n стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа эпсилон найдётся такое натуральное число N, зависящее от эпсилон, что для всех n≥N выполняется неравенство │Xn-а│<E. Теоремы о пределах последовательностей: 1) Если последовательности {xn} и {yn} сходятся и выполняются равенства , , то сходятся также их сумма, разность, произведение и частное. И верны формулы:
Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела. 2) Если между членами трёх последовательностей {Xn} {Yx} {Zn} выполняется неравентсво Xn≤Zn≤Yn и пределы существуют и равны между собой, то существует и предел последовательности Zn, который равен их общему пределу.
45. .Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства. . Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности: Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Свойства бесконечно малых последовательностей: 1) сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность. Следствие: произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 3) для того, чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность можно было представить в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой последовательности. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа М>0 найдется такое натуральное число N, что для всех n начиная с этого номера выполняется условие │Xn│>М. Свойства бесконечно больших последовательностей: 1) Если {αn}бесконечно малая последовательность, то { } бесконечно большая последовательность. Если {αn}бесконечно большая последовательность, то { } бесконечно малая последовательность. 2) Если предел последовательности βn=∞ и все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны, то последовательность стремится к положительной бесконечности. А если члены отрицательны, то последовательность стремится к отрицательной бесконечности.
46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерий Гейне и критерий Коши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций. Предел функций в точке: Предел в точке -числоb назв. пределом функции f в точке x=a, если для любой послед {Xk}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {F(k)} сходится к b. Критерий Гейне: число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности значений аргументов {xn} сходящейся к х0, соответствующая последовательность значений функций сходится к А. Критерий Коши: число А называется пределом функции при х стремящемся к х0, если для любого эпсилон больше нуля можно указать такое положительное δ(дельта), зависящее от эпсилон, что для любого х удовлетворяющего неравенству 0<│х- х0│<δ выполняется неравенство │f(x)-А│<Е. Теоремы о пределах: Если существуют , , то существует также предел их суммы, разности, произведения и частного. Следствия: 1) постоянный множитель можно выносить за знак предела 2) предел многочлена в точке равен значению многочлена в этой точке. 3) предел дробно-рациональной функции также равен значению функции в этой точке при условии, что точка принадлежит области определения функции. Если при вычислении предела и числитель и знаменатель имеют предел равный нулю, то нужно разделить их на двучлен х- х0 и вычислить предел, при необходимости повторить.
47 Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов.. Число В называется пределом функции f(x) если для любого ε > найдеться число М>0 такое что для всех Х >М выполняеться f(x)- b < ε Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Если число А1 (число А2) есть предел функции при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения меньшие (большие) а, то А1 (А2) называется левым (правым) пределом функции в точке а.
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:бесконечность –бесконечность, бесконечно \бесконечность,0 в нулевой степени и тд…
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
48. Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Бесконечно большая функция если её придел равен +- бесокнечности. Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е. и 1. Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка. 2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß. 3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß. 4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.
49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций, непрерывных в точке. Функция yf(x непрерывна в (.)х=х0 если: 1)она в этой точке определена 2)значения предела данной функции = значению предела даной точке. Свойства 1)если y=f(x) и y =q(x) неперывны в (.)х0. То их сумма разность , произведение , частное неперывно в точке х0. 50. Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции. Точка в которой нарушаеться условие непрерывности называеться точкой разрыва. Функция y=f(x) непрерыввна в х0 тогда и только тогда . если предел слева = пределу справа и = значению функции этой точки f(x0-o)=f(x0+0)=f(xo). 1)Если в точке х=х0 f(x0-o) не =f(x0+0) то х0- предел разрыва 1 рода, при этом одностороние пределы сушь и конечны 2)Ести хоть 1 из одностороних пределов бесконечен или не сушествует то х0 точка разрыва 2 рода 3)Если односториние пределы сушь , конечны и равны между собой но не раны значению функции в точке х0 то х0 точка устранимого разрыва. 51. Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. . Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0. Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).
52. Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать условия существования... Асимптотой называеться кривая к которой приблежаються точки на прямой , по мере удаления аргумента от начала кординат. Виды: вертекальные горизонтальные наклонные. 1)прямая Х=а называеться вертекальной асимптотой графикаy=f(x) если хоть 1 из указаных значений х=а limf(x) и хстремиться к + или -a. 2)горизонтальная асимптота .y=f(x) при х стремиться к =или- бесконечности имеет горизонтальную асимптоту Limf(x)=b при х стремиться к бесконечности или - бесконечности . 3)наклонная y=f(x) имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда когда сушшь 2 конечных придела k=lim(f(x)/x) при х стремяшемся к бесконечности … lim (f(x)-kx)=b 53. Дать определение производной функции. Сформулировать и доказать основное свойство производной функции. Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.
54..Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой. Геометрический смысл производной. Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число f'(x0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой. Скорость изменения функции Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0. Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x). уравнение касательной или Уравнение нормали
55. Сформулировать теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций и доказать их. Теорема 3 (дифференцирование сложной функции).Пусть
Теорема 4 (производная обратной функции).Пусть функция (f-1(y))' = 1/f'(x).
56. Дать определение функции, заданной параметрическими уравнениями. Сформулировать теорему о дифференцировании функции, заданной параметрически, и доказать ее. Дать определение неявной функции. Сформулировать правило дифференцирования неявной функции. 57. Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия. Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b); на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0. Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с О (a, b) такая, что
Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c О (a, b) такая, что
58. Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения.. 59. Дать определение дифференциала функции и раскрыть его геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы. Дифиринциал-линейная часть приращения функции Свойства:1)диффиринциал постоянной =0 2)дифференциал суммы дифференциальных функций равен сумме дифиринциалов слогаемых 3)диф. Произведения 2 диф. Функций равен произведению первой на диф 2 + наоборот 4)диф частного u/v диф функций u=u(x) и v=v(x) определяеться формулой D(u/v)=vdu-udy/v*v 60. Записать формулы, используемые в приближенных вычислениях с помощью дифференциала и. объяснить их. Привести соответствующие примеры.
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 178. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |