ПРЕДРАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Примеры задач Сделай сам(а)

31u2 - u1

C=

Р = С(u2 - u1)

где С – цена деления планиметра.

Средняя квадратическая погрешность функции z=f(x,y,….t) измеренных величин (косвенных измерений) равна

= =

32n =

Ф-ла из 32)

Так как точность теодолита m=30″, а средняя квадратическая погрешность Mβ○ не должна превышать ..″ то, подставляя в исходные данные, получим n=9 приемов.

36находят арифметическую середину из результатов измерений, как Lср = Σ Li/n;

 вычисляют уклонения от арифметической середины υ = Li - Lср. ;

 вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя

 m= Σ υ (n-1) ;

37D1=l1, D2=l2…….

Lср = [pili]/ [p].

[p]=p1+p2+p3…..

38Решение данной задачи можно показать на предыдущем примере, если предположить, что точное значение измеряемой величины Х отсутствует.

Порядок вычислений:

находят арифметическую середину из результатов измерений, как Lср = Σ Li/n;

 вычисляют уклонения от арифметической середины υ = Li - Lср. ;

 вычисляют среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя m= Σ υ2/ (n-1);

 определяют среднюю квадратическую погрешность самой погрешности по формуле m m = m 2 n;

 находят предельную погрешность как mпред =3 m;

 вычисляют относительную среднюю квадратическую погрешность mотн = m / Lср;

 вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической средины MLср = m /√ n;

 записывают окончательный результат как Lср ±3 MLср.

Примеры задач:Примеры задач (1–5) для самостоятельного решения

Пример 1.В прямоугольнике измерены длины сторон: а = 32,62 м, b = 52,37 м. Средние квадратичные ошибки измерения сторон равны: m_a = 0,01 м, m_b = 0,02 м. Требуется определить среднюю квадратическую ошибку определения площади прямоугольника. Площадь S = ab; среднюю квадратическую ошибку определения площади получим по рассмотренной выше методике:

, или  м².

Пример 2.Требуется определить среднюю квадратическую ошибку m_h определения превышения в тригонометрическом нивелировании, полученного по формуле: h = d tg v, где d = 144,0 м, v = +2º30´, m_d = 0,5 м, m_v = 1´; тогда h = 6,27 м.  Формула для вычисления m_h: ,

где =3438´;

 м ≈ 5 см.

Пример 3. В треугольнике измерены два горизонтальных угла со средними квадратическими ошибками , . Требуется определить среднюю квадратическую ошибку  третьего угла, полученного из двух измеренных значений. Определение выполняют по формуле:

Пример 4.Требуется определить среднюю квадратическую ошибку определения приращения координат ∆x = l∙cos α, если l = 489,98 м; m_l = 0,11 м; α = 144º30´; m_α = 1´.

Вычисления выполняют по формуле:

 м.

Пример 5. Найти среднюю квадратическую ошибку длины линии D, измеренную стальной двадцатиметровой лентой, если средняя квадратическая ошибка одного обложения ленты  = ±1,2 см; D = 180 м.

, (14)

.

Считаем, что отложение двадцатиметровых отрезков лентой равноточное, тогда m_D = m_l∙ см.

Задание для индивидуального решения студентами пяти вышеприведенных примеров заключается в том, что длины сторон или их горизонтальное проложение выбираются студентами по варианту, для чего к длинам линий в примерах прибавляется число целых метров, соответствующих номеру варианта.

Номер варианта у каждого студента соответствует его порядковому номеру в журнале группы. Например, студенту, имеющему шестой номер в журнале, соответствует шестой вариант и для первого примера ему следует взять следующие длины сторон в прямоугольнике: а = 32,62 + 6 = 38,62 м; b = 52,37 + 6 = 58,37 м. Все остальные исходные данные, помимо длин линий, берутся из приведенных примеров.

ПРЕДРАСЧЕТ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

В практике геодезических работ, особенно на стадии составления проектов, возникает необходимость рассчитать точность предстоящих измерений, пользуясь теорией ошибок. При этих расчетах по известному виду функции требуется рассчитать точность измерения каждого аргумента. В таких случаях применяют принцип равных влияний, суть которого состоит в требовании равенства слагаемых в формуле средней квадратической ошибки функции общего вида.

Пример. Превышение получено по формуле h = . Требуется рассчитать, с какой точностью должны быть измерены расстояние (l = 120 м) и угол наклона (v = 4º00´), если h необходимо получить со средней квадратической ошибкой m_h = ±4,0 см. Рассматривая формулу превышения как функцию общего вида, находим: . (15)

Применим принцип равного влияния, то есть потребуем, чтобы влияние ошибок измерений расстояния l и угла v было одинаковым: , откуда  и ;

подставив в формулы значения величин, получим:  см или ;

.

Как видно из полученных результатов, необходимая точность получения превышения достигается теодолитом 2Т-30 с использованием нитяного дальномера или кипрегелем.

Задача для самостоятельного решения студентами по вариантам.

Площадь прямоугольника со сторонами а = 200 м, b = 160 м, требуется определить со средней квадратической ошибкой m, не превышающей 4 м². Следует рассчитать, с какой точностью необходимо измерять стороны прямоугольника, чтобы обеспечить заданную точность определения площади.

S = a b,  или, применив принцип равных влияний, получим:

;

 м.

Из полученных результатов можно сделать вывод о том, что для обеспечения точности определения площади с m_S = 4 м² необходимо измерять длины линий с точностью ≈ ±3 см.

Для решения задачи самостоятельно каждый студент прибавляет к длинам а и b номер своего варианта, соответствующий порядковому номеру в журнале группы.