Задание 1. Демодуляция АМ-сигнала

Пример №1

Вычислим порог для критерия Котельникова:

Для аналитического обнаружения порога рассмотрим:

Пример №2

Обнаружить цель двумя РЛС (радиолокационная станция) независимо. Априорная вероятность обнаружения цели 1-й станции равна 0,7; 2-й равна 0,8. Нужно определить вероятность обнаружения хотя бы одной станции.

    Решение: В таких задачах зондирующий импульс детерминированный, случайная помеха отсутствует. Нет необходимости вычислять правдоподобие. Задача сводится к вычислению элементарных событий. Соответственно, вероятность обнаружения:

P(A) = 0,7

P(B) = 0,8

P(AB)= P(A)*P(B) = 0,7*0,8 = 0,56

P(C) = P(A+B)=P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7+0,8-0,56= 0,94 или

Ответ: вероятность обнаружения одной станции P(C)=0,94.

Пример №3:

    Генерируется два сигнала и расстояние наблюдается на интервале от 0 до t , скважность между двумя импульсами равна  , вводится ограничение: если разница  то приемник перегружается и выносит ошибочное решение.  это случайные моменты поступления любых импульсов поступающих независимо от источника 1 и источника 2. Поступления от источников равновероятные. Задача определить вероятность события Р(А) что приемник будет перегружен.

Решение:

τ₁ , τ₂ – представляем в виде декартовых координат, а область возможных значений поступлений τ₁/τ₂ есть T²

Решение задачи сводится к отношению ошибочной и полезной областей, область перезагрузки приемника находится в заштрихованной области. При сближении τ₁ и τ₂ область перегрузки уменьшается, говоря о высокой разрешающей способности приемника. Площадь заштрихованной области равняется s, тогда искомая вероятность есть отношение:

S= T²

s= T²-(T- τ)²

τ= 0,5 c, P(A)=0,75

Оптимальное обнаружение детерминированного сигнала с учётом критических ошибок.

На вход приёмника поступает либо случайный процесс в виде шума n(t), либо сумма полезного сигнала и помехи f(t). Рассмотрим две гипотезы: 1) сигнал + помеха; 2) только помеха.

Априорные вероятности этих гипотез принимаются равновероятными.

Помеха n(t) при стрессовыхГауссовским шумом нулевым и средним и с выборочной дисперсией. В момент времени производится измерение входного процесса и по полученному значению алгоритм принимает решение: был на входе сигнал или не было. Кроме выборочного среднего и выборочной дисперсии иногда используется корреляционный момент. Из-за случайного характера процесса приёма решение в пользу гипотез  и сопровождаются ошибками двух видов: ошибка первого рода (когда отвергается правильная гипотеза) носит название ложная тревогаF; ошибка второго рода ( когда принимается не правильная гипотеза) носит название пропуск сигналаH.

Пример №4.

Три источника сигнала генерируют на базовую станцию свои сигналы.

Стоит задача определить вероятность потери связи . Каждый источник из-за воздействия помех может потерять связь с базовой станцией.

Решение:

Назначим априорные вероятности потерь помехоустойчивости по каждому источнику:

Возникает задача проверки гипотез, которые ведут к событию A. Гипотеза - помехоустойчивость упала у одного источника. Гипотеза  – помехоустойчивость упала у двух источников. Гипотеза  – помехоустойчивость снизилась у всех трёх источников.

Предположим, что если помехоустойчивость снизилась у одного из источников, то вероятность потери связи равна 0,25.

Если только у двоих источников, то будет равняться 0,4. Если же у всех трёх, то это число будет 0,5.

Т.е. связь не будет восстановлена.

Ответ: вероятность потери связи

Пример №5

Апостериорная вероятность гипотез.

 По каналу связи передаются сигналы в виде кодовых комбинаций S₁ и S₀ с априорными вероятностями их передачи P₁=0.7 и Р₂=0.3. Из-за наличия помех вероятность правильного каждого символа в группе уменьшается до 0.6. Искажения кодовой комбинации происходит независимо друг от друга. Фиксируем прием символов: U=10110

Определить какая команда была передана.

S₁=11111                               P₁=0.7

S₀=00000                               Р₂=0.3

P₀=0.6

U=10110  H₁→S₁

               H₀→S₀

Решение:

P(A(H₁))=0,6*0,4*0,6*0,6*0,4=0,035

P(A(H₀))=0,4*0,6*0,4*0,4*0,6=0,023

P(H₁(A))=  =

P(H₀/A)=0,22 → H₁

Пример 6

Имеется множество абонентов – 1000, которые разбросаны по терминалам 2G, 3G, 4G, 5G и разбросаны по трем категориям Home, Corp, VIP

- Абоненты

Абоненты взаимодействуют с БС образуя группу событий:

А₁- БС обрабатывает сигнал абонента группы 2G

А₂- БС обрабатывает сигнал абонента группы 3G

А₃- БС обрабатывает сигнал абонента группы 4G

А₄- БС обрабатывает сигнал абонента группы 5G

1. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала каждого из 4-х стандартов?

Возможны всего 4 исхода:

Р_2G= =0,1; Р_3G=0,5(Р(А)); Р_4G=0,15; Р_5G=0,25

2. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала любого из 4-х стандартов, но определенной группы?

Возможны всего 3 исхода:

P_Home= ; Р_corp= 0,5; Р_VIP= 0,36(P(B))

3. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала VIP абонента стандарта 3G? Таких всего 150 человек.

Р(А) = Р_{VIP 3G}= =0,15

!Примечание: если это событие Р(А) вычислять как произведение :

Р(АВ) = Р_3G* Р_VIP=0,5*0,36=0,18 ≠ 0,15 следовательно так считать нельзя.

Нужно вычислять условные вероятности Р(А/В)

Р(А/В) = P(3G/VIP)= =0,417 – Условная вероятность выбора сигнала стандарта 3G из группы VIP

P(AB)=P(B)P(A/B)=0,36*0,417=0,15

Условная вероятность выбора сигнала группы VIP из стандарта 3G

P(В/А)= =0,3

P(AB)=P(А)P(В/А)=0,5*0,3=0,15

4. Базовая станция равновероятно обрабатывает сигнал какого-то абонента.

Какова вероятность, что этот сигнал € группе «Home»?

У нас выбор сигнала по 4-м стандартам равновероятен, т.е.

Р(А₁)= Р(А₂)= Р(А₃)= Р(А₄)=0,25 – априорные вероятности

P(В)- полная вероятность принадлежности сигнала к группе «Home». >>

>> P(B/A₁)= =0,5; P(B/A₂)= =0,6; P(B/A₃)= =0,6; P(B/A₄)= =0; 

>>Р(В)= (А_i)Р(В/ А_i)=0,5*0,25+0,6*0,25+0,6*0,25+0*0,25=0,425

5. Предположим, что принятый(обработанный) сигнал € группе Home

Какова вероятность того, что он был сгенерирован 3G-абонентом?

>>P(A₂/В)=  =  = 0,352

Задание 1. Демодуляция АМ-сигнала

Порядок выполнения работы:

1) Зададим временной массив t: 0≤t≤1;

2) Зададим линейные частоты модулирующего  и несущего  колебаний.

3) Зададим амплитуду несущего сигнала . Для модулирующего сигнала зададим амплитуду , постоянную составляющую , и начальную фазу колебаний .

4) Зададим коэффициент модуляции m: 0<m≤1 (при m>1 наступает перемодуляция(избыточная модуляция)), простые демодуляторы (типа квадратичного детектора) демодулируют такой сигнал с сильными искажениями.

5) Сгенерируем несущий сигнал и модулирующий сигнал, используя входные параметры:

;

;

6) Сгенерируем амплитудно-модулированный сигнал :

;

Т.к. , то:

;

7) Сгенерируем массив случайных величин (соразмерный с массивом t), распределенных по нормальный закон в интервале (0, 1) [белый шум ]. Зададим его амплитуду . В канале связи будет создаваться аддитивная помеха, т.е. сигнал на входе приемника будет иметь вид:

;

8) Проведем фильтрацию принимаемого сигнала .

Операция линейной дискретной фильтрации в общем случае описывается следующим образом:

;

 — отчёты входного сигнала;

 — отчёты выходного сигнала;

 — постоянные коэффициенты;

Максимальное из чисел  и  называется порядком фильтра.

Рис 1. Цифровой рекурсивный фильтр

Передаточная функция фильтра имеет вид:

;

В среде MatLab используется функция .

9) Зададим параметры фильтра:

;

;

И проведем операцию демодуляции принимаемого сигнала.

10) Вычислим отношение сигнал/шум по формуле:

;

Листинг программы

clear

t=0:0.001:1; %Задаем массив отсчетов времени

fc=50; %Задаем частоту несущего сигнала

fm=4; %Задаем частоту модулирующего сигнала

Uc0=2; %Задаем амплитуду несущего колебания

Um0=3; %Задаем амплитуду модулирующего сигнала

U0=5; %Задаем постоянную составляющую модулирующего сигнала

Un0=0.4; %Задаем амплитуду белого шума(Среднее квадратичное отклонение)

fi0=2*pi/3; %Задаем начальную фазу модулирующего колебания

m=1; %Задаем коэффициент модуляции

b=ones(1,3); %Коэффиенты b цифрового фильтра

a=1; %Коэффициенты a цифрового фильтра

Uc=Uc0*cos(2*pi*fc*t); %Задаем несущее гармоническое колебание

Um=U0+Um0*cos(2*pi*fm*t+fi0); %Задаем модулирующий гармонический сигнал

Uam=Uc0.*(1+m*Um/max(abs(Um))).*cos(2*pi*fc*t); %Выражение для АМ-сигнала

Un=Un0*randn(size(t)); %Генерирует белый шум с МО=0 и СКО=1

Ud=Uam+Un; %Сигнал на входе приемника (аддитивная помеха)

Udmd=filter(b,a,abs(Ud));

Построение графиков