Нестационарный пуассоновский поток

Нестационарным пуассоновским потоком называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью l(t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины t, начинающийся в точке t₀, подчиняется закону Пуассона:

Здесь а – математическое ожидание числа событий на участке от t₀ доt + t₀ . Оно вычисляется по формуле:

Величина а на только от длины участка t, но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции l(t) .

Вероятность того, что на участке времени от t₀ до t + t₀ не появится ни одного события, равна

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра t₀ и вида функции l(t). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.

Поток Пальма

Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т₁, Т₂, … представляют собой независимые случайные величины.

Если промежутки времени Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком.

Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т₁, Т₂, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма.

Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма.

Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания.

Потоки Эрланга

Потоки Эрланга являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока.

Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.

Потоком Эрланга k – порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить.

Очевидно, что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.

Пусть имеется простейший поток с интервалами Т₁, Т₂, … между событиями. Величина Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k – го порядка.

Очевидно, что . Так как первоначальный поток – простейший, то случайные величины Т₁, Т₂, … распределены по показательному закону:

Обозначим f_k(t) плотность распределения величины Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- (t, t + dt). На этот участок должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока – на промежуток (0, t).

Вероятность первого события равна , а второго - . Эти события должны осуществиться совместно, значит, их вероятности надо перемножить.

Полученный закон распределения называется законом распределением Эрланга k- го порядка.

При k = 0 получаем показательный закон распределения.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:

Плотность потока Эрланга равна

Для промежутка времени между двумя соседними событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину . Такой поток будет называться нормированным потоком Эрланга.

Закон распределения для такого потока будет иметь вид:

,

Математическое ожидание и дисперсия будут равны:

Получается, что неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, равными .

Изменение порядка нормированного потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие возрастает с увеличением k.

На практике это удобно для приближенного представления реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга (математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного потока.