Правило перевода целых чисел делением на основание новой системы счисления

Представление чисел в различных системах счисления

Количество предметов в различных системах счисления будет иметь различную запись. Рассмотрим на примере елок (см. Рисунок 1).

                                          1100₂ = 22₅ = 13₉ = 12₁₀ = 10₁₂ = С₁₆

Рисунок 1

Каждая система счисления имеет свой алфавит – совокупность символов, используемых для записи чисел.

Количество цифр алфавита равно основанию системы счисления.

Основание системы является десятком в этой системе. Например, в двоичной с.с. количество 2 является десятком, в 16-ой с.с. десятком является количество, равное 16 и т.д.

    Чтобы представить целое десятичное число в какой-либо q-ой с.с. необходимо выяснить сколько раз помещается число q в данном числе – это будет количество десятков, т.е. надо найти неполное частное и остаток.

Пример 1

13₁₀ → А₄

‌‌‌                    13₁₀ =3*4+1 =31₄

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌13₁₀ → А₈

                    13₁₀ =1*8+5 =15₈

13₁₀ → А₁₆

‌‌‌                     13₁₀ =0*16+13 =D₁₆

32₁₀ → А₁₅

32₁₀ = (2*15+2)₁₀ =22₁₅

    Если количество десятков оказалось больше, чем основание системы счисления, то необходимо выяснить сколько сотен в этом числе, т.е. количество десятков снова делить на основание системы q.

Пример 2

‌‌‌13₁₀ → А₃

                     13₁₀ =4*3+1=(1*3+1)+1=111₃

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

60₁₀ → А₅

60₁₀ =12*5+0 = (2*5+2)+0 =220₅

Из выше рассмотренных  примеров ( Пример 1, Пример 2) видно, что запись числа в q-ой с.с представляет собой остатки от целочисленного деления десятичного числа на основание q.

Пример 3

58₁₀ ®А₇, 58₁₀ ®А₁₆.

58₁₀=112₇; 58₁₀=3А₁₆.

При этом все вычисления производятся в исходной системе счисления

Для перевода правильных дробей в q-ую с.с необходимо дробную часть числа умножать на основание q. При этом целые части произведений представляют запись числа в q-ой с.с, а дробную часть произведения продолжаем  умножать на q до тех пор, пока дробная часть отлична от 0 или пока не возникнет повтор (период).

Пример 4

0,375₁₀ ®А₂.

0,375 × 2 = 0,75	0
0,75 × 2 = 1,5	1
0,5 × 2 = 1,0	1

 0,375₁₀ = 0,011₂

Арифметические операции

Операции над числами в любой позиционной с.с. осуществляются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Только при этом необходимо помнить, что десятком является основание системы q,  а значит перенос в старший разряд числа единицы осуществляется при числе, большем q. Например, при сложении двух шестнадцатеричных цифр переход в старший разряд единицы производится при сумме, превышающей 16 (см. Пример 5).

Пример 5

Пример сложения, разности и произведения двух шестнадцатеричных чисел.

Для облегчения операции деления желательно составить таблицу умножения для данной системы счисления.

Пример 6

2,212₃ / 2,1₃

Для вычисления частного составим таблицу умножения в 3-ой с.с. Деление столбиком в троичной с.с. производится по привычным для нас правилам арифметики.

Таблица 1

Перевод чисел из q₁ –ой с.с. в q₂ с. с.

Теперь, когда вы умеете выполнять арифметические операции над числами в любой  с.с. по основанию q, вы сможете переводить не только десятичные числа в любую q-ую с.с. (А₁₀→А_q), но и наоборот А_q→А₁₀ .

Пример 7

35₆→А₁₀

Число 10 в 6-ой с.с. равно 14. Поэтому деление выполняется на 14 в 6-ой с.с.

35₆=23₁₀.

Проверка: 23₁₀=3*6+5=35₆.

    Таким образом, с помощью деления можно переводить целое число из любой с.с. по основанию q₁ в любую с.с. по q_2.

Правило перевода целых чисел делением на основание новой системы счисления

1) Разделить число на основание новой с. с., выраженное символами исходной с.с. Вычисления выполнять в исходной системе счисления;

2) Зафиксировать остаток и неполное частное;

3) Если неполное частное отлично от 0, то продолжить действия с полученным неполным частным, начиная с пункта 1);

4) Если неполное частное равно 0, то записать все полученные остатки символами алфавита новой системы счисления, начиная с последнего остатка.

Пример 8

241₅→А₇.

Решение: 7=12₅

241₅=131₇.