Решение задач линейной алгебры в системе MATLAB

При создании матриц в системе MATLAB  символы пробел и запятая используются для отделения элементов внутри строки в матрице, символ точка с запятой отделяет строки в матрице.

При создании матриц необходимо следить за равенством длин строк, ее образующих.

В MATLAB операция транспонирования матрицы выполняется с помощью либо оператора «.’», либо функции

Пример: транспонировать матрицу

>>A=[1 3;1 3];

>>B=transpose(A)

B=

1 1

3 3

Пример: выполнить суммирование матриц  и

>>A=[2 3;3 2]; B=[1 1;2 2];A+B

ans=

    3 4

    5 4

Пример: вычислить произведение матрицы  на число 2

Элементарными матричными преобразованиями являются:

· перестановка местами двух строк матрицы,

· умножение всех элементов строки матрицы на число, отличное от нуля,

· прибавление ко всем элементам строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

Пример: поменять местами 1-ю и 3-ю строки матрица

Умножить элементы второй строки матрицы  на число -2

Умножить элементы третьей строки матрицы  на число -2 и прибавить к соответствующим элементам первой строки

Пример. Вычислить произведение матриц  и

>>A=[1 3;2 4]; B=[1 2;3 4]; A*B, B*A

ans=

    10 14

    14 20

ans=

    5  11

    11 25

Система MATLAB позволяет выполнять поэлементное умножение матриц.

При выполнении поэлементного умножения размерности матриц должны быть одинаковыми.

Выполнить поэлементное умножение матриц и

При поэлементном умножении матриц умножаются значения соответствующих элементов этих матриц и записываются в результирующую матрицу.

Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB имеются следующие функции:

det(X) — возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содержит только целые элементы, то результат — тоже целое число. Использование условия det(X)=0 как теста на вырожденность матрицы действительно только для матрицы малого порядка с целыми элементами.

Пример: вычислить определитель матрицы .

» А=[2,3,0;1,8,4;3,6,7]

» det(A)

ans =

    79

Если  является квадратной матрицей, то обратной по отношению к  называется матрица, которая при умножении на  (как слева, так и справа) дает единичную матрицу:

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Расчетная часть

Вычисление определителя

Нахождение определителя классическим методом:

Вычисление определителя методом разложения по элементам строки (столбца):

+ +

Вычисление определителя в системе MATLAB

Нахождение обратной матрицы

Нахождение обратной матрицы классическим методом

Транспонируем матрицу

 Путем вычеркивания элементов на пересечении строк и столбцов определяем:

Сводим полученные данные в матрицу

Делим каждый ее элемент на определитель(det=-19) и получаем:

       Проверка:

Вычисление Обратной матрицы в системе MATLAB: