Вычисление обратной матрицы

При решении матричных уравнений широко используют обратную матрицу. Она в известной степени заменяет операцию деления, которая в явном виде в алгебре матриц отсутствует.

Квадратные матрицы одинакового порядка, произведение которых дает единичную матрицу , называются взаимообратными или обратными. Обозначается обратная матрица  и для нее справедливо

.

Вычислить обратную матрицу можно только для такой матрицы , для которой .

Классический алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Записывают матрицу , транспонированную к матрице .

2. Заменяют каждый элемент матрицы  определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус – в противном случае.

4. Делят полученную матрицу на  определитель матрицы .

Пример. Требуется вычислить обратную матрицу

.

Матрица  будет иметь вид

.

Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

.

Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

Разделим все элементы матрицы  на . В результате получаем обратную матрицу

.

Если теперь умножить полученную обратную матрицу на матрицу , то в результате получим единичную матрицу.