Задачи, приводящие к понятию производной, ее определение, геометрический и механический смысл. Уравнение касательной и нормали.

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

1) Пусть материальная точка движется неравномерно по некоторой прямой. Расстояние S зависит от истекшего времени t, то есть S = S(t). Пусть за промежуток времени перемещение точки будет составлять . Тогда средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна:

2) Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времениили мгновенной скоростью. Обозначив эту скорость , получим:

.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции при данном значении равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в т. М0( ; ).

Механический смысл производной: скорость – это производная координаты по времени:

Уравнение касательной -  

Уравнение нормали -