Непрерывность функции, точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Односторонний пределчисловой функции – «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределом.

Правый предел обозначается

Левый предел обозначается

Определение предела функции по Коши:Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .

Определение предела функции по Гейне:Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их связь. Сравнение бесконечно малых, связь предела функции с бесконечной малой.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Функция называется бесконечно большойпри , где – число или одна из величин , или , если , где – число или одна из величин , или .

Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка kотносительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Приемы вычисления пределов.

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Замечательные пределы:
1. Первый замечательный предел
2. Второй замечательный предел

Техника вычисления пределов

а) Чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности.
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа , если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель приводящий к неопределенности.

Непрерывность функции, точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

Функция называетсянепрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е.

Точки разрыва – точки, в которых нарушается непрерывность функции.

Точка называетсяточкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, т.е. и . При этом:

Если , то точка называетсяточкой устранимого разрыва.

Если , то точка называетсяточкой конечного разрыва.

Точка называетсяточкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Свойства непрерывных функций:

1) Если функция f(x) непрерывна в промежутке (a,b), то существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое значение х, при котором f(х) принимает свое набольшее значение и, по крайней мере, одно такое значение х, пр котором функция принимает свое наименьшее значение.

2) Если функция f(x) непрерывна в промежутке (a,b), причем f(a)=m и f(b)=n, и если k – любое число, заключающееся между m и n, то существует в промежутке (a,b), по крайней мере, одно такое значение х, при котором значение f(x) равно k; в частности, если f(a) и f(b) разных знаков, то существует внутри промежутка (a,b), по крайней мере, одно такое значение х, при котором f(x) обращается в ноль.