Интерполяция и аппроксимация

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель: Ознакомление студентов с основными методами интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций. Закрепление на практике полученных знаний в области аппроксимации таких функций.

Задача: Научить студентов практическому применению полученных теоретических знаний при решении задач сглаживания результатов эксперимента полиномами, как при алгоритмизации таких задач, так и при их программировании.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Интерполяция и аппроксимация

В практике часто встречается ситуация, когда некоторая функция f(x) задана таблицей ее значений в отдельных точках х = x₀, x₁, … , x_n [a, b],  например, дискретные показания прибора во времени, а следует вычислить функцию f(x) в некоторых промежуточных точках. Эту задачу можно решить приближенно, заменяя функцию f(x) более простой непрерывной функцией F(x). Существуют два основных способа такой замены: интерполяция и аппроксимация.

Суть интерполирования – в построении такой легко вычисляемой функции F(x), которая совпадает с функцией f(x) в точках х = x₀, x₁, … , x_n. Иными словами, график функции F(x) в плоскости Оху должен проходить через точки х = x₀, x₁, … , x_n, в которых задана функция f(x). При этом, точки х = x₀, x₁, … , x_n называют узлами интерполирования, а функцию F(x) – интерполяционной. В качестве интерполяционной функции в большинстве случаев выбирают полиномы. Так, линейная интерполяция состоит в простом последовательном соединении точек   (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), … ,

(x_n, f(x_n)) отрезками прямых, т.е. в построении nполиномов первой степени. Значение функции f(x) в точке х*, где х* (x_i,x_i+1), i = 0, 1, … , n – 1, вычисляется в этом случае достаточно просто: 

f(x*) = f(x_i) + · (х*–x_i).

Квадратичная интерполяция состоит в соединении последовательных троек узлов интерполяции параболами. Кубическая интерполяция – четверок – кубическими параболами и т.д. Интерполяционные полиномы степени (n – 1)есть гладкие функции, проходящие через все узлы интерполяции. При наложении дополнительных условий на соединение функции F(x)в точках   (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)), … , (x_n-1, f(x_n-1)) получим т.н. сплайн-интерполяцию. Для построения интерполяционных многочленов разработано множество методов: Ньютона, Стирлинга, Лагранжа и др.

Во многих случаях, имея значения функции в n+ 1 узлах, удобно вместо интерполяционного многочлена находить полином степени m<n, который бы хорошо приближал (аппроксимировал) рассматриваемую функцию. При этом требование совпадения функций f(x) иF(x) в точках  (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), … , (x_n, f(x_n)) заменяется на требование минимизации суммарного отклонения между значениями функций f(x) и F(x) в точках х = x₀, x₁, … , x_n.

Одним из основных методов построения аппроксимизационного полинома является метод наименьших квадратов, по которому требуется, чтобы сумма квадратов отклонений между значениями функции и значениями приближающей функции в узлах должна быть минимальной. Почему квадратов? Потому что сами отклонения между значениями функций может быть как положительными, так и отрицательными, и их сумма не дает истинного представления о различии между функциями за счет компенсации положительныхи отрицательных значений. Можно взять модули отклонений, однако положительные квадраты этих отклонений более удобны в работе.