Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

ЛЕКЦИЯ 3 «Современная стоимость денег (дисконтирование)»

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной наращенной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р.

Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условии контракта. Расчет Р на основе заданной величины S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма Sдисконтируетсяили учитывается,сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом,а удержанные проценты – дисконтом. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке (учете) банком краткосрочных обязательств (векселей), оплата которых должником произойдет в будущем. Понятие «дисконт» в узком смысле слова употребляется по отношению к ценным бумагам, которые обращаются (т.е.продаются и покупаются) на рынке ценных бумаг, причем их рыночная цена (курсовая стоимость) постоянно изменяется.

Дисконт (от англ. discount (D) – разница между ценой некоторой ценной бумаги в настоящий момент и ее ценой на момент погашения (или ценой номинала).

Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смысле – как средство определения любойстоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведениемстоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени (приведение может быть осуществлено на любой момент времени.)

Дисконтирование (в широком смысле слова) – приведение стоимостных показателей к одному моменту времени.

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной величиной суммы S, а иногда, в зависимости от контекста, – современной (текущей, приведенной) стоимостью.Современная величина суммы денежных средств является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения учитывается такой фактор, как время. Как мы увидим далее, большинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость некоторой суммы денег независимо от того, действительно ли совершалась данная операция и можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

В зависимости от вида используемой процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

ü математическое дисконтирование–используется процентная ставка наращения (т.е. ставка ссудного процента) i;

ü банковский (коммерческий) учет– используется учетная процентная ставка d.

Математическое дисконтирование.Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Решаемая задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму денежных средств надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i? Решив уравнение относительно Р,находим:

Напомним, что если t – срок ссуды в днях, то n = t/K – срок ссуды в годах (где К – условная продолжительность одного года, которую обычно называют «временной базой» финансовых расчетов и которая может быть различной в финансовой практике разных стран).

Установленная таким способом величина Рявляется современной величиной суммы S,которая будет выплачена спустя nлет.

Дробь 1/(1 + n*i)называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Разность (S – Р)  можно рассматривать не только как проценты, начисленные на Р,но и как дисконт (cкидку) с суммы S. Обозначим величину дисконта символом D.

Пример 1. Через 180 дней после подписания кредитного договора клиент банка должен уплатить 310000 рублей. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга и величина дисконта при условии, что временная база К равна 365 дням?

Решение:

 руб.

Дисконт равен  руб.

Разумеется, дисконт как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

Банковский (коммерческий) учет (учет векселей).Суть операции заключается в следующем. Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить денежные средства, хотя и не в полном объеме, однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский (коммерческий)учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта (D), или суммы учета равен S*n*d,если d– годовая ставка, то nизмеряется в годах. Таким образом:

где n – срок от момента учета до даты погашения векселя;

d – дисконтная (учетная) процентная ставка.

Дисконтный множитель здесь равен (1 – n*d).

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе К= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным.

Пример 2.Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. рублей с уплатой 17 ноября 2015 года. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября 2015 года по учетной ставке 20%. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Сколько составит полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных)?

Решение:

 руб.

Дисконт составит 30600 руб.

Как было показано выше, оба вида процентных ставок применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, а обратной задачей – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода дисконтирования – по ставке наращения i и учетной ставке d – приводят к разным результатам даже тогда, когда i = d.

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Так, из формулы следует, что при n > 1/d величина дисконтного множителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что лишено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок дос­таточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Влияние фактора времени усиливается при увеличении величины ставки. Так, при d = 100% отрицательный результат проявится уже при n > 1. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа здесь больше нуля.