Глава III. Численное интегрирование

§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Составные формулы

Задача: вычислить  для f(x), непрерывной на [a,b].

Опр. Квадратурная формула — , определяемая узлами

x₀, x₁, ...,  x_n  и весами q₀, ..., q_n .

Квадратурная формула называется точной для многочленов степени m, если для любого многочлена, степени ≤ m, подставленной вместо f(x), формула дает точное равенство.

I. Формула прямоугольников.

.

Формула точна для многочленов степени 1.

II. Формула трапеций.

, где .

Формула также точна для многочленов степени 1.

III. Формула Симпсона.

Пусть

.

Формула также точна для многочленов степени 2 (без док-ва).

Составные формулы получаются, если [a,b] разбить на N частей, на каждой части применить простую формулу, и результаты сложить.

Пусть

Составная формула прямоугольников:

.

Составная формула трапеций:

Пусть

Составная формула Симпсона:

.

§ 2. Метод неопределенных коэффициентов

Пусть известны узлы x₀, ...,  x_n  на [a,b].

Найдем квадратурную формулу , точную для любых многочленов степени m. Тогда при подстановке простых многочленов

1=x⁰, x, x²,...,x^m получится система уравнений:

, для j = 0,...,m.

Это СЛУ с неизвестными q₀, ..., q_n.

, для j = 0,...,m.

В этой СЛУ (m+1) уравнений, (n+1) неизвестных.

Если m = n, то главный определитель системы

— определитель Вандермонда (транспонированный).

Следовательно, решение q₀, ..., q_n существует и единственно.

Пример.

Пусть m =2, n =2,

СЛУ:

 Û  Û

Получили формулу Симпсона.

§ 3. Формулы Ньютона-Котеса

Пусть d₀, ...,  d_n Î [–1;1]  (вспомогательные узлы, сначала различные, потом возможно совпадающие)

, для i = 0,...,n.

f(x_i) , для i = 0,...,n.

Пусть L_n(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам x_i.

Тогда , где p(x) — некоторая фиксированная функция, называемая весовой функцией.

Выполним замену:

Замечание: В случае, когда среди d₀, ...,  d_n есть совпавшие (следовательно, среди x₀, ...,  x_n тоже), вместо многочлена Лагранжа используют интерполяционный многочлен с кратными узлами. Однако результат так же записывают в виде .

Опр. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса — формулы вида

, где .

 Свойства:

1. Если p(x) четна (симметрична) относительно , т.е.  и x_i расположены симметрично вокруг , то D_i=D_n–i. Такую квадратурную формулу называют "симметричной".

2. "Симметричные" квадратурные формулы точны для любой функции, нечетной относительно , т.е. .

Частные случаи: при p(x) º 1

1)n = 0; d₀ = 0 — формула прямоугольников.

2)n = 1; d₀ = –1, d₁ = 1 — формула трапеций.

3)n = 2; d₀ = –1, d₁ = 0, d₂ = 1 — формула Симпсона.

4)n = 1; d₀ = 0 = d₁  — формула прямоугольников.

5)n = 3; d₀ = –1, d₁ = 0, d₂ = 1, d₃ = 0 — формула Симпсона.

§ 4. Формулы Гаусса

Задача:  Дано: n — количество узлов;

                  [a,b] — отрезок;

                  p(x) > 0 на [a,b].

Найти: квадратурную формулу , точную для многочленов наибольшей степени m, (т.е. найти узлы x₀, ..., x_n–1 и коэффициенты D₀, ...,D_n-1).

Опр. Квадратурная формула Гаусса — решение поставленной задачи.

Теорема. Существует решение для m = 2n – 1.

Доказательство:

1) При подстановке в квадратурную формулу простых многочленов 1=x⁰, x, x²,...,x^m получится система уравнений:

 , для j = 0,...,m.

В этой системе (m+1) нелинейное уравнение с 2×n неизвестными x₀, ..., x_n–1 , D₀, ...,D_n-1. При (m+1) = 2×n решений конечное число (если оно существует).

Следовательно, m = 2×n – 1.

2) Существование решения будет показано ниже.

Опр. Скалярным произведением функций f(x) и g(x) (с комплексными значениями) называется

, где  – комплексно сопряженная к g(x).

Опр. Многочлен g(x) ортогонален многочлену g(x), соответственно p(x) и [a,b], если (f(x),g(x)) = 0.

Обозначим  многочлен степени n, со старшим коэффициентом =1, ортогональный всем многочленам меньшей степени.

Пример.

1. Многочлены Чебышева  — соответствуют  и [–1;1].

2. Многочлены Лежандра:

 — соответствуют p(x) º 1 и [–1;1].

Если многочлен  имеет n различных корней x₀, ..., x_n–1 на [a,b], то .

Пусть эти корни x₀, ..., x_n–1 — узлы интерполяции. Найдем по ним квадратурную формулу  (например, формулу Ньютона-Котеса). Тогда она точна для всех многочленов степени (n–1).

Лемма.

Если x₀, ..., x_n–1 — корни (нули) многочлена  степени n, и формула  точна для многочленов степени (n–1), то она точна и для всех многочленов степени (2n–1).

Доказательство:

Пусть Q_2n–1(x) — произвольный многочлен степени (2n–1).

По теореме о делении многочленов с остатком выполняется .

Найдем

. Лемма доказана.

Примеры: при p(x) º 1, на [–1;1]

1)n = 1; x₀ = 0; D₀ = 2, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×1–1 = 1.

2)n = 2; x₀ = – 0,577; x₁ = 0,577; D₀ = D₁ = 1, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×2–1 = 3.

3)n = 3; x₀ = – 0,775; x₁ = 0; x₂ = 0,775;  

D₀ = 0,556; D₁ = 0,889; D₂ = 0,556, т.е. формула

 точна для многочленов степени 2×3–1 = 5.

Замечание:

Чтобы использовать эти узлы и коэффициенты для интеграла на произвольном отрезке [a,b], нужно в интеграле выполнить замену переменной .

Тогда . Т.е. коэффициенты D₀, ...,D_n-1 не изменятся, а узлы пропорционально преобразуются в узлы на отрезке [a,b].

Составная формула Гаусса, для p(x) º 1:

отрезок [a,b] разбивается на N частей одинаковой длины,

каждая часть тоже разбивается на n – 1 частей,

точки деления — x_ki , где k = 0,...,N – 1,  i= 0,...,n – 1.

Тогда .

§ 5. Погрешность квадратурных формул. Правило Рунге.

Пусть квадратурная формула  точна для многочленов степени m (n ≤ m). Для оценки погрешности воспользуемся разложением f(x) по формуле Тейлора:

.

Тогда

.

Т.е.  — погрешность квадратурной формулы.

Пример.

1) Для простейших формул прямоугольников и трапеций

.

2) Для формулы Симпсона

.

Теперь воспользуемся разложением  f(x)  по формуле Тейлора степени (m+1):

/

Тогда

.

Опр. Главным членом погрешности называется .

Правило Рунге — способ оценки главного члена погрешности без использования производной (m + 1) порядка.

Пусть I_h — приближенное значение интеграла , вычисленное по составной квадратурной формуле с длиной участка .

Тогда .

.