Оценим величину амплитуды магнитного рассеяния

Лекция 3

Сечение магнитного рассеяния нейтронов

Амплитуда магнитного рассеяния на электроне

Под магнитным взаимодействием нейтрона с электроном понимают диполь-дипольное взаимодействие между магнитным дипольным моментом нейтрона с магнитным полем В, создаваемым неспаренными электронами. Оператор такового взаимодействия равен

                            U_m = m_n·B= -gm_Ns·B,                             (3.1)

где, g = - 1.913 – гиромагнитное отношение, m_N = 5.051´10^-27 Дж/Tл – ядерный магнетон, s спин нейтрона. Отметим, что магнитный момент нейтрона m антипараллелен его спину s.

Пусть электрон находится в точке r = 0, тогда магнитное поле, которое он создает в точке r_j равно

     B_j = Ñ ´ {[m_e ´ r_j] / |r_j|³}+ ((-e)/c)· {[v_e ´ r_j] / |r_j|³},            (3.2)

где v_e – скорость орбитального движения электрона. В уравнении (3.2) первый член (m_e = - 2m_BS) описывает магнитное поле, создаваемое спиновым моментом (спиновая часть), а второй член описывает магнитное поле, создаваемое орбитальным движением электрона.

Проведя вычисления можно получить выражение для амплитуды магнитного рассеяния нейтрона электроном:

    b_mag = -gr₀s·(Q´(S´Q) + (i/ħ|Q|)(p_e´Q))= -gr₀g/2s·(Q´(S´Q)),    (3.3)

где, r₀ = 0.2818´10^{-12 см – классический радиус электрона с моментом} p_e; 

Q = q/|q|, q = k_i – k_f – вектор рассеяния; g – фактор Ланде g :

     g = 1+ .                                                                (3.4)

Оценим величину амплитуды магнитного рассеяния

 b_mag= gr₀ = g(m₀/4π)(e²/m_e) = -1.913·(4π·10^-7/4π)((1.602·10^-19)²/9.109·10^-31) =

= 0.54·10^{-12 cm},

где, m₀ – магнитная проницаемость вакуума, e и m_e заряд и масса электрона.

Следовательно, амплитуда магнитного рассеяния нейтронов, равна по порядку величины амплитуде ядерного рассеяния.

Выражение для b_mag имеет более сложный вид, чем выражение для b_nucl.

Уравнение (3.3) показывает, что лишь спиновая компонента, перпендикулярная вектору рассеяния Q дает вклад в сечение магнитного рассеяния. Это свойство магнитного рассеяния позволяет отделять его от ядерного рассеяния.

Рассмотрим два рассеивающих центра, один расположен в начале координат, другой в точке r.

Разность фаз между двумя отраженными лучами равна

                   rk_i - rk_f = q×r,

где, q = k_i – k_f – вектор рассеяния.

Принимая во внимание разность фаз, мы получим структурный фактор системы двух рассеивающих центров.

                                p₁ + p₂                                            

Окончательно, сечение упругого рассеяния неполяризованных нейтронов

                          (3.5)

Введя величину

           ,

получаем

где

              .

Величина  играет роль структурной амплитуды при магнитном рассеянии.

Рассмотрим несколько простых случаев рассеяния нейтронов на магнитных материалах.

1) Однодоменный ферромагнетик со спином S,

Пусть имеется коллинеарный ферромагнетик с несколькими магнитными атомами на примитивную ячейку, тогда сечение рассеяния

,                                 (3.6)

где,

                                                               (3.7)

структурная амплитуда магнитного рассеяния; S_j – спин j- атома в элементарной ячейке, f_j - формфактор.

В уравнении (3.6) член

         x= 1- = sin²h,                                                            (3.8)

где, q – модуль вектора магнитного взаимодействия; h - угол между магнитным моментом и вектором рассеяния.    

Величина

            b_mag,j = gr₀·S_j·f_j(q) = 0.2695·10^-12· M_j·f_j(q) (cm)                   (3.9)

называется амплитудой рассеяния j- атома, M_j – магнитный момент j- атома.

     Принимая во внимание вектор магнитного взаимодействия, получаем формулу, которая, обычно, применяется при расчетах:

. (5.10)  

Уравнение (3.6) имеет простой вид:

                                                              q = b,                               (3.11)

Это означает, что магнитные рефлексы, возникают в тех же углах, что и ядерные Брегговские рефлексы. Уравнение (3.11) является векторной формой диффракционного условия Вульфа-Брегга. Покажем это.

Возведем обе части уравнения (3.11) в квадрат:

                      |q|² = |b|²,

                      |k_i - k_f|² = b²,

Используя определение волнового вектора имеем

            |k_i| = |k_f| = 2π/l and |b| = 2π/d_hkl ,

                 k² -2k²cos2Q + k² = b²,

                 2k²(1- cos2Q) = b²,

                  2·(2π/l)²·(2sin²Q)= (2π/d_hkl)².

Окончательно,

                             2d_hklsinQ = l.                                  (3.12)

Таким образом, на основании (3.12) дифракцию нейтронов можно представить как отражение от кристаллографических плоскостей с межплоскостным расстоянием d_hkl под углом скольжения q. В кристаллографии принято задавать плоскости индексами Миллера (hkl), которые однозначно связаны с соответствующим вектором b. Например, для простой тетрагональной решетки

          b = 2p(h/a, k/a l/c).