Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

       Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

       Кроме того, для точки М₁ можно записать:

.

       Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

       Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

       Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

× + D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

       Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D₁ = 0 и × + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).

       Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

       Общие уравнения прямой в координатной форме:

       Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

       Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

       При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

       Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

       Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

       Находим компоненты направляющего вектора прямой.

       Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

       Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

       Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Итого:

Угол между плоскостями.

                                                                                         j₁

                                                      j                              0

       Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁, т.е.

cosj = ±cosj₁.

       Определим угол j₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

       Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

       Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

плоскостей.

       На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

       Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

       Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: ïï .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

       Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l₁:

l₂:

       Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.