Электрическое поле в диэлектрике. Электрическое смещение.

Электрическое поле в веществе.

Диэлектрики. Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость. Электрическое поле в диэлектрике. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для векторов E и D. Граничные условия для векторов Е и D.

Проводники в электрическом поле. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы.

Диэлектрики. Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость.

В предыдущем разделе рассматривалось электростатическое поле в вакууме. Распределение поля в веществе существенно зависит от свойств вещества. Поэтому раздельно будут рассмотрены два предельных случая вещества — диэлектрики и проводники. Диэлектрики, которые ещё называются изоляторами, практически не содержат свободных зарядов, тогда как в проводниках таких свободных зарядов много.

Рис.1

Из рисунка видно, почему поле диполя не равно нулю в точке задаваемой вектором . Да потому, что положительный и отрицательный заряд находятся на разных расстояниях от этой точки (разница небольшая поскольку ). Чтобы получить ответ для потенциала и электрического поля диполя поместим начало координат в центре между зарядами и запишем потенциал, создаваемый диполем в точке задаваемой радиус-вектором :

       (1)

здесь  — радиус вектор положительного заряда, а  — радиус вектор отрицательного заряда. Из рисунка 1 видно, что . В принципе эта формула дает правильный ответ для потенциала диполя, но она сложная потому, что содержит маленькие слагаемые в сумме с большими слагаемыми (т.е. не учитывается условие , которое в нашем случае сводится к условию ). Воспользуемся следующей цепочкой приближений (которые выполняются с очень хорошей точностью):

                                           (2)

С учетом этого соотношения имеем

                                                    (3)

где введено обозначение для дипольного момента . Итак величина поля создаваемого диполем сильно зависит от его ориентации, определяется величиной дипольного момента и убывает с расстоянием быстрее, чем поле точечного заряда. Напряженность электрического поля находится по потенциалу с помощью стандартной процедуры

        (4)

Отсюда легко найти модуль напряженности электрического поля:

                                                                        (5)

Ну а как себя ведет диполь в электрическом поле. Рассмотрим случай постоянного поля (для понимания этого будет достаточно). На Рис.2 показаны силы, действующие на диполь в постоянном электрическом поле. Из этого рисунка видно, что на диполь в электрическом поле действует пара сил, которая стремится развернуть диполь. Момент, который, создает эта пара сил, равен .

Рис.2

       Вернемся к молекулам, из которых состоит диэлектрик. Можно вычислить среднее положение отрицательных и положительных зарядов:

                                                                 (6)

Нас будут интересовать макроскопические поля, т.е. поля, усредненные по некоторому объему, намного большему, чем объем молекулы (попробуйте сделать чувствительную часть прибора размером с молекулу). Таким образом, если у молекулы средние положения отрицательных и положительных зарядов не совпадают , то такая молекула может рассматриваться как диполь с дипольным моментом . Где  — суммарный заряд электронов или ядер (они по модулю равны). Симметричные молекулы ( ) в отсутствии внешнего электрического поля не имеют собственного дипольного момента ( ) и называются неполярными. У ассиметричных молекул ( ) средние положения отрицательного и положительного зарядов, как правило, не совпадают . Такие молекулы называются полярными и обладают собственным дипольным моментом.

Несмотря на то, что такие молекулы имеют собственный дипольный момент, какое-то количество вещества из этих молекул дипольным моментом не обладает. Это происходит из-за того, что молекулы ориентированны произвольно. Больше того взаимодействие молекул между собой стремится так ориентировать молекулы, что каждое направление оказывается равновероятным.

       Таким образом, в отсутствии внешнего электрического поля некоторый объём вещества обладает нулевым дипольным моментом, независимо от того, состоит это вещество из полярных или неполярных молекул. Если приложить внешнее электрическое поле, то у объёма диэлектрика появится некоторый дипольный момент. Почему это происходит у неполярных молекул. Дело в том, что внешнее электрическое поле стремится растащить положительные и отрицательные заряды в разные стороны. Чтобы совсем растащить эти заряды (т.е. разрушить молекулу) нужны насколько слишком поля, которые не встречаются в повседневной жизни. Поэтому молекула немного деформируется (вытягивается по направлению поля) и, оказывается . Так возникает дипольный момент у неполярных молекул. Если же диэлектрик состоит из полярных молекул, то дипольный момент возникает из-за того, что поле разворачивает молекулы. Мы показали, что в электрическом поле на молекулу действует момент . Совсем по полю молекулы выстроиться не могут из-за уже упоминавшегося взаимодействия молекул между собой. Это взаимодействие, как уже указывалось, стремится сделать распределение дипольных моментов изотропным. Ситуация с полярным и неполярным диэлектриком показана на Рис.2.

Рис.2

На Рис. 2(a) показано возникновение поляризации в диэлектрике, состоящем из неполярных молекул, а на Рис. 2(b) в диэлектрике, состоящем из полярных молекул. Дипольный момент некоторого объёма диэлектрика пропорционален этому объему и приложенному полю. Для характеристики влияния поля на диэлектрик вводят дипольный момент , отнесенный к единице объема:

                                                                                 (7)

где сумма вычисляется по всем молекулам, попавшим в выделенный объем. Величина  называется вектором поляризации (иногда, этот вектор называют поляризованностью) диэлектрика. Для широкого интервала напряженностей электрического поля (напряженности, которые встречаются в повседневной жизни) поляризация диэлектрика пропорциональна напряженности электрического поля. Для изотропного диэлектрика связь вектором поляризации и напряженности поля записывают в следующем виде:

                                                                                                                   (8)

где  — называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика и зависит только от свойств диэлектрика (находится в таблицах) и не зависит от напряженности поля.

Электрическое поле в диэлектрике. Электрическое смещение.

       Теперь, когда мы так много знаем о строении диэлектриков, перейдем к изучению вопроса о том, как изменится поле внутри диэлектрика, если этот диэлектрик внести в какое-то внешнее поле. Начнем с того, что реальное поле в диэлектрике меняется очень сильно при переходе одной молекулы к другой и внутри молекулы. Такие изменения происходят на масштабах порядка нескольких ангстрем (напомним, что ). В подавляющем числе задач достаточно знать поле, усредненное по некоторому объему внутри которого находится точка. Нас интересует такое сглаженное (усредненное) по пространству поле, поскольку реальные приборы с помощью которых изучается воздействие поля, конечно же заметно больше размеров молекулы. Таким образом, поле в диэлектрике можно представить в виде суммы двух полей, поле, которое создается зарядами не входящими в состав молекул диэлектрика (такие заряды называются сторонними), и поле (усредненное) которое создается зарядами, входящими в состав молекул (такие заряды называют связанными):

                                                                                                   (9)

где  и  поля создаваемые свободными и связанными зарядами. Из Рис. 2 видно, что плотность связанных зарядов внутри диэлектрика равна нулю (не могут отрицательные и положительные заряды в молекуле сильно разойтись). С другой стороны из Рис.2 можно заключить, что связанные заряды создают некоторую поверхностную плотность зарядов . Покажем, как поверхностная плотность зарядов изменяет поле внутри диэлектрика. Для этого рассмотрим конфигурацию поля и диэлектрика показанную на Рис. 3.

Диэлектрик представляющий собой параллельную бесконечную пластину находится в однородном поле  направленном перпендикулярно плоскости пластинки. Поле внутри диэлектрика изменяется за счет поверхностных зарядов, которые на разных гранях отличаются знаком. Т.е. дополнительное поле в диэлектрике создается двумя бесконечными пластинами с противоположной плотностью поверхностных зарядов. Такая система создает нулевое поле вне плоскостей и вдвое большее, чем от одной пластины поле между плоскостями (Это мгновенно следует из принципа суперпозиции). Таким образом, можно написать, что поле в диэлектрике равно:

                                                                                (10)

всё бы хорошо, да вот поверхностной плотности зарядов  мы не знаем. Поэтому нужно ещё немного поработать. Начнем с того, что посчитаем дипольный момент цилиндра, образующие которого перпендикулярны к граням диэлектрика, а основания совпадают с поверхностями диэлектрика и равны . Заряды на каждом из оснований совпадают по модулю  и различаются по знаку. А длина цилиндра, совпадающая с толщиной пластинка равна расстоянию между зарядами. Поэтому дипольный момент этого цилиндра равен . С другой стороны можно вычислить дипольный момент цилиндра исходя из его объема   и вектора поляризации . Отсюда следует, что:

                                                                                                                        (11)

В дальнейших выкладках мы будем пользоваться связью вектора поляризации с величиной поля (8). После этого не составляет труда найти поле в диэлектрике:

                                (12)

отсюда находим:

                                                                                                         (13)

где величина  называется диэлектрической проницаемостью изолятора (среды, диэлектрика). Из формулы (13) видно, что поле в среде уменьшается в  раз. На самом деле так бывает не всегда, но когда граница диэлектрика совпадает с эквипотенциальной поверхностью это так. При описании поля в диэлектриках широко используется вектор электрического смещения (вектор электрической индукции) , который в некотором смысле (скоро скажем в каком) нечувствителен к связанным зарядам, и определяется следующим выражением:

                                                                 (14)

Тогда для рассмотренного выше примера имеем:

1. Вне диэлектрика ,  и соответственно
2. Внутри диэлектрика  и

Получается, что в нашем примере вектор электрической индукции не изменяется вне и внутри диэлектрика, ну а напряженность электрического поля вычисляется по формуле (13). Позже, мы убедимся, что не всегда поле в диэлектрике находится так просто. Но ещё раз отметим, что в случае, когда поверхность диэлектрика совпадает с эквипотенциальной поверхностью, то это так. Мы уже говорили, что для потока электрического вектора имеется теорема Гаусса:

           (15)

Мы получили эту теорему, рассматривая поле точечного заряда и потом применяя принцип суперпозиции. Предположим, что заряды помешены в бесконечную диэлектрическую среду. В таком случае можно считать, что граница диэлектрика совпадает с эквипотенциальными поверхностями и , где  - электрическое поле в отсутствии диэлектрика. А для вектора электрической индукции можно написать:

                                (16)

Итак, в простейшем случае, когда граница диэлектрика совпадает с эквипотенциальными поверхностями (Если имеется симметрия, то это легко проверяется) можно найти вектор , используя уравнение (15) и не обращая внимания на связанные заряды в диэлектрике, а после этого вектор  находится из (14).