Гравитационное поле вблизи поверхности Земли. Постоянная сила.

Обратим внимание на то, что закон всемирного тяготения написан для материальных точек. Чтобы написать его для тела конечных размеров действуют так:

1. Разбивают тело на мелкие части, так чтобы каждую часть можно было считать материальной точкой.
2. Суммируют все силы от каждой части тела, которые действуют на материальную точку и находят результирующую силу.

Это является сутью принципа суперпозиции согласно которому, сила с которой тело действует на материальную точку, равна сумме сил, создаваемых каждой частью тела. При изучении электродинамики мы поговорим о принципе суперпозиции подробнее. Здесь же отметим, что если тело имеет форму шара, то из принципа суперпозиции следует, что это тело притягивает материальную точку так, как будто вся масса этого тела сосредоточена в центре этого тела. Отсюда следует, что величина силы, с которой Земля притягивает тело массы , находящееся её поверхности равна.    

(40)

Здесь — масса Земли, а — радиус Земли. Если подставить эти значения, то получим:

(41)

На самом деле Земля не совсем круглая, не совсем однородная и не совсем является инерциальной системой отсчета (она вращается). Это приводит к тому, что на разных широтах и в разных местах Земли ускорение свободного парения несколько различаются. Для примера в Берлине — g = 9,81280 см., в Москве —  ну а Токио — . И ещё один вопрос, «Как изменяется ускорение свободного падения, если тело находится на некотором расстоянии ( ) над поверхностью Земли. В этом случае можно написать:

(42)

Из этой формулы видно, что для расстояний над поверхностью Земли малых по сравнению с радиусом Земли ускорение свободного падения уменьшается слабо. Например, для , получаем:

(43)

Таким образом, в широком интервале высот над поверхностью Земли поле земного притяжения можно считать постоянным и направленным к центру Земли. Мы будем пользоваться значением . Другие примеры, когда сила,  действующая на материальную точку является постоянной, будут рассмотрены в электродинамике. И наконец, почему мы называем  ускорением свободного падения? Да очень просто. Достаточно написать уравнение движения тела, на которое действует только сила притяжения Земли, т.е. второй закон Ньютона в проекции на ось направленную к центру Земли.

(44)

Закон Кулона.

Два точечных, покоящихся электрических заряда взаимодействуют друг с другом в соответствии с законом Кулона:

(45a)

(45b)

В этих выражения  — электрический заряд, который может быть как отрицательным, так и положительным. Если сравнивать закон всемирного тяготения и закон Кулона, то можно сделать следующие замечания:

1. По аналогии с законом Кулона можно сказать, что в законе всемирного тяготения, масса выступает в качестве гравитационного заряда. Это очень интересно. Оказалось так, что одна и та же величина определяет меру инертности (во втором законе Ньютона) и меру гравитационного взаимодействия материальной точки. В принципе можно считать, что есть две массы, одна масса, это гравитационный заряд — гравитационная масса, входящая в закон всемирного тяготения, и другая масса — инертная масса, входящая во второй закон Ньютона. Имеющиеся экспериментальные данные в настоящее время позволяют сделать вывод, что обе эти массы совпадают. Именно на совпадении этих двух масс, и не только на этом, построена современная теория тяготения, созданная Эйнштейном и, которая называется общей теорией относительности.
2. Обратите внимание, что направление силы задаваемой законом Кулона (45a,45b) отличается от того, что следует из закона всемирного тяготения (39a,39b). Действительно, если , то взаимодействующие тела (материальные точки) отталкиваются, а в законе всемирного тяготения они притягиваются.
3. Поскольку электрический заряд может быть и отрицательным и положительным, то из закона Кулона следует, что если заряды обеих частиц (материальных точек) одинаковы, они отталкиваются, а если заряды противоположны, то они притягиваются. Интересная картина получается, если какое-то тело заряжено, например, положительно, то оно стремится притянуть к себе отрицательные заряды, т.е. уменьшить свой заряд. В гравитационном взаимодействии массы всегда положительны и взаимодействие всегда притягивает частицы друг к другу.

Коэффициент  является размерной величиной и служит задаче не только учесть величину взаимодействия, но согласовать размерности правой и левой частей закона Кулона. Мы поговорим об этом подробнее, когда будем изучать электродинамику. Здесь же заметим, что в системе СИ ,величина электрического заряда измеряется в Кулона (Кл). В этом случае  постоянная , входящая в закон Кулона равна:

(46)

Вообще говоря, Кулоновские силы очень и очень большие, но об этом мы поговорим во второй части курса.

Упругие силы

Вообще то все силы в природе сводятся к небольшому количеству фундаментальных взаимодействий. Но очень часто во взаимодействии участвует так много частиц, что описать его, опираясь на фундаментальные силы невозможно. Поэтому приходится опираться на экспериментальные данные. Упругие силы это силы, которые действуют со стороны растянутой или сжатой пружинки на тело которое их сжимает. Вообще такие силы встречаются очень часто. Точно по такому же закону, изменяются силы, которые действуют на металлический стержень, когда его растягивают или сжимают. Выражение для силы напишем сразу в проекции на ось направленную вдоль стержня или пружинки:

(47)

Здесь  — положение конца растянутой или сжатой пружины (или стержня) если другой его конец закреплен,  — равновесное положение конца пружины. Обычно начало координат выбирают в положении равновесия ( ) и тогда (47) переписывается в виде:

(48)

Коэффициент пропорциональности  называется жесткость системы (пружины, стержня) и определяется из опыта и имеет размерность . Закон (48) называется законом Гука. Можно ещё много говорить о законе Гука, мы же заметим только, что этот закон имеет ограниченную применимость. Большинство из Вас знают, что при слишком сильном растяжении пружина перестает «пружинить» (возвращаться в исходное положение при прекращении действия растягивающих сил), а стержень так и вообще ломается (рвется). В дальнейшем будем предполагать, продольные деформации (изменение длины) не слишком велики и предел прочности не превышен.

Силы трения

Мы рассмотрим два вида трения:

1. Силы, которые возникают при перемещении одного тела относительно другого. При этом будем предполагать, что трущиеся поверхности не смазаны. Такое трение будем называть сухим трением.
2. Силы, которые возникают между смазанными поверхностями или при движении в среде (жидкости или газе). Такие силы ещё называют иногда силами сопротивления.

Общим свойством сил трения является то, что они всегда препятствуют относительному движению трущихся тел. Из этого сразу следует, что направление силы трения нельзя написать без анализа остальных сил действующих на систему (см. Рис. 1). Остановимся вначале на силе сухого трения. Часто можно встретить утверждение, что эта сила пропорциональна силе реакции опоры, т.е. силе с которой наше тело давит на поверхность по которой его двигают, или пытаются двигать (из третьего закона Ньютона следует, что эта сила по величине равна силе, с которой на тело действует опора). На языке формул это означает, что величину (но не направление) силы трения можно записать в виде:

виде:

(49)

Здесь безмерный коэффициент  называется коэффициентом трения, а  — величина силы реакции опоры (она совсем не обязательно равна весу тела). Покажем, почему эта формула не может быть правильной. Для этого рассмотрим простую задачу  (см. Рис.1) со следующими данными:

1. Вес тела

2. Коэффициент трения

3. Силы

Нужно найти ускорение тела, считая для простоты

Рис.1

Поскольку , то сила трения направлена влево (см. левую часть рисунка). Выберем направление оси X слева направо и запишем в проекциях на эту ось второй закон Ньютона.

(50)

Отсюда следует:

(51)

Удивительный ответ, из-за силы трения тело движется с ускорением направленным в сторону меньшей из сил (знак минус). Что-то здесь не так. А все дело в том, что выражение для силы трения нужно писать в виде

(52)

Знак меньше ставится тогда, когда достаточно силы трения меньшей, чем  для того, чтобы тело оставалось в покое. Например, в нашей задаче достаточно , тогда как максимальная сила трения .

Силу сопротивления можно записать в виде:

(53)

Коэффициент сопротивления  является положительной величиной и зависит от свойств среды, в которой движется тело, от формы и размеров тела. И вообще формула (53) является приближенной и при росте скорости коэффициент может начать зависеть от скорости. Размерность этого коэффициента . Кстати,  довольно легко найти из соображений размерности максимальную скорость, которую приобретет тело массы  падающее без начальной скорости в однородном поле тяжести с данным коэффициентом сопротивления.

(54)

Отсюда легко найти, что ,. т. е . Ну а точное решение находится из второго закона Ньютона и начального условия:

(55)

Скоро вы научитесь решать такие простые уравнения и получите точное решение:

(56)

Из этой формулы видно, что из соображений размерностей мы получили точный ответ.

На этом закончим с обсуждением основных сил, которые Вам встретятся в этом курсе. В электродинамике мы встретим ещё некоторые силы, очень непохожие на те, которые мы сейчас рассмотрели. Но это будет чуть попозже.