Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Движении центра масс. Гравитационные силы. Закон Кулона. Упругие силы.  Силы трения.

       Сегодня мы остановимся на причинах вызывающих движение. Другими словами перейдем к изучению динамики. Уже при рассмотрении кинематики мы обращали внимание на тот факт, что в разных системах отсчета законы движения могут быть разными. Выбор системы отсчета, вообще говоря, дело исследователя. Так если меня интересует полет комара, залетевшего в вагон электрички, на которой я еду, то бессмысленно описывать это движение в системе отсчета связанной с Савёловским вокзалом. Рассмотрим переход из одной системы отсчета в другую, которая движется поступательно относительно первой (см. Рис. 1). Вообще-то мы говорили о

Рис.1

 поступательном движении недеформируемого (твердого) тела, а здесь движение системы координат. Но с каждым твердым телом всегда можно связать систему координат, если выбрать точку начала координат и точки для направления базисных векторов в нашем теле. Остановимся немножко подробнее на, преобразовании, показанном на Рис.1. Если предположить, что время при переходе в другую систему течет одинаково то связь радиус-векторов и времен в этих системах дается соотношениями (см. Рис. 1).

	(1a)
	(1b)

В этих формулах переменные со штрихом и без штриха относятся к соответствующим системам координат, а радиус вектор центра штрихованной системы координат относительно центра исходной системы, как это и видно из рисунка. Из этих преобразований следует, что:

	(2)
	(3)

Здесь и  — скорость и ускорение начала координат штрихованной системы отсчета.

Из этих формул следует, что:

«Если две системы движутся поступательно одна относительно другой, то ускорения материальной точки в обеих системах отсчета одинаковы, если системы движутся друг относительно друга с постоянной скоростью ( )».

       Поскольку физика наука экспериментальная, то преобразования (1a) и (1b) должны быть проверены на эксперименте. В начале прошлого века было показано, что правильные преобразования выглядят намного сложнее. Так, например, время в движущейся системе течет медленнее. Если сравнить промежуток времени , который прошел на Земле, с промежутком времени который прошел на спутнике, движущемся с первой космической скоростью , то разница составит . Такое запаздывание, как и много других эффектов возникающих при больших скоростях движения, учитывается в специальной теории относительности. При скоростях маленьких по сравнению со скоростью света ( ) преобразования специальной теории относительности с очень хорошей точностью совпадают с преобразованиями (1), которыми мы в дальнейшем будем пользоваться , считая их точными.

       Если же рассматривать систему, которая движется относительно исходной более сложным образом (например, вращается вокруг фиксированной оси), то ускорения материальной точки в этих двух системах не совпадают никогда.

       В основе динамики материальной точки лежат три закона Ньютона. Остановимся на этих законах подробнее.

Явление инерции

Проведем наблюдения за поведением различных тел относительно Земли, выбрав неподвижную систему отсчета, связанную с поверхностью Земли. Мы обнаружим, что скорость любого тела изменяется только под действием других тел. Например, пусть тело стоит на неподвижной тележке. Толкнем тележку - и тело опрокинется против движения. Если же, наоборот, резко остановить двигающуюся тележку с телом, оно опрокинется по направлению движения. Более аккуратные исследования показывают, что если бы трение между тележкой и телом отсутствовало, то тело бы не опрокинулось. В первом случае произошло бы следующее: так как скорость стоящего тела равна нулю, а скорость тележки стала увеличиваться, тележка выскользнула бы из-под неподвижного тела вперед. Во втором случае при торможении тележки стоящее на ней тело сохранило бы свою скорость движения и соскользнуло вперед с остановившейся тележки.

Первый закон Ньютона.

       Иногда этот закон еще называют законом инерции. А состоит он в том, что тело, на которое не действуют другие тела, покоится или движется с постоянной скоростью (в жизни мы говорим, что тело движется по инерции). Движение с постоянной скоростью (возможно и равной нулю) это движение без ускорения (с нулевым ускорением). Здесь сразу возникает вопрос,: «в какой системе отсчета не взаимодействующее тело имеет нулевое ускорение?».Такие системы отсчета называются инерциальными и общее между ними то, что они движутся друг относительно друга поступательно и с постоянной скоростью (см. (3)).Однако этого недостаточно. Действительно если мы имеем две системы отсчета, которые движутся друг относительно друга с постоянной скоростью, то они совсем не обязательно являются инерциальными. Может быть, каждая из этих систем движется с ускорением (общим для этих двух систем) относительно настоящей инерциальной системы отсчета. Таким образом, необходимо указать хотя бы одну систему, которую мы можем считать инерциальной. Из экспериментов было получено, что такой системой является гелиоцентрическая система отсчета. Гелиоцентрической системой отсчета называют систему с началом координат в центре Солнца и осями, направленными на три "неподвижные" звезды. Таким образом, инерциальной является система отсчета, которая движется поступательно относительно гелиоцентрической системы отсчета.

Итак, первый закон Ньютона утверждает

1. Существуют инерциальные системы отсчета, в которых материальная точка, не взаимодействующая с другими телами, движется с постоянной скоростью (или покоится).
2. Одной из инерциальных систем является гелиоцентрическая система отсчета.
3. Система отсчета, которая движется поступательно и с постоянной скоростью относительно какой-то инерциальной системы отсчета также является инерциальной.

Вообще-то третье утверждение следует из (3). Действительно, если и , то и . Но знать это нужно. Утверждение о том, механические явления протекают одинаково (описываются одними и теми же уравнениями) во всех инерциальных системах отсчета — составляет принцип относительности Галилея. Преобразование из одной инерциальной системы отсчета в другую имеет вид:

	(4a)
	(4b)
	(4c)

Часто ось X выбирают вдоль скорости движения штрихованной системы отсчета,  и преобразование записывают в виде:

(5)

и обратное преобразование:

(6)

Второй закон Ньютона.

       В дальнейшем будем предполагать, что рассмотрение ведется в инерциальной системе отсчета. Из экспериментов было установлено, что ускорение тела вызывается действием на него других тел. Такое действие называется силой. Кроме того, было установлено, что разные тела приобретают разные ускорения под действием одна и той же силы. Т.е. тела по-разному оказывают сопротивление попыткам изменить их скорость. Это свойство тел сопротивляться изменению их скорости называют инертностью. Мерой инертности тела является его масса.

       Отношение масс двух тел можно определить из отношений ускорений, которые они получают под действием равных по величине сил:

(7)

При этом сами силы измерять не нужно, достаточно чтобы сила была одной и той же. Например, если это воздействие пружиной, то достаточно измерить отношения ускорений рассматриваемых тел при одинаковом сжатии пружины. Если в качестве одной из масс выбрать эталонную массу, то мы можно измерить массу пользуясь соотношением (7).  Ещё одним свойством массы является её аддитвность. Это означает, что масса тела равна сумме масс его частей:

(8)

Масса тела всегда положительна. Второй закон Ньютона связывает ускорение с массой материальной точки и действующей на эту точку силой. Математически он выглядит следующим образом:

(9)

В жизни часто встречаются ситуации, когда на тело действуют силы со стороны нескольких тел. В этом случае результирующая сила равна векторной сумме всех сил действующих на тело:

(10)

На самом деле при описании движения тела конечных размеров может необходимо учитывать, что силы приложены к разным точкам тела. Дело в том, что в таком случае тело совсем не обязательно движется поступательно. На этих вопросах мы остановимся позже, а сейчас будем считать, что уравнения (9) и (10) написаны для движения материальной точки.

       Попробуем дать ответ на вопрос, можем ли мы определить закон движения материальной точки из уравнения (9). Для этого рассмотрим простейший случай . Из предыдущих лекций мы знаем, что ускорение это первая производная по времени от скорости или вторая производная по времени от радиус-вектора. Это дает:

(11)

Это, вообще говоря, простейшая система линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Простейшая, потому что правая часть не зависит от координат и времени ( ). Вспоминая определение первообразной, получаем, что скорость равна:

(12)

Где  пока неизвестный постоянный вектор. Чтобы было понятно, как получилось это выражение, напишем уравнение (11) по компонентам:

	(13a)
	(13b)
	(13c)

Если записать эту систему в векторном виде, то получим (12). Постоянный вектор  из уравнения найти нельзя. Он находится из начальных условий, т.е. из значения скорости в какой-то момент времени. Мы будем выбирать этот момент . Легко проверить, что как раз и есть скорость материальной точки в нулевой момент. Дальнейшее решение уравнения (11) дает:

(14)

Таким образом, в решение уравнения входят две векторные константы  и   равные скорости и положению материальной точки в нулевой момент времени. То обстоятельство, что решение полностью не определяется из второго закона Ньютона, является следствием того, что этот закон связывает с силой вторую производную от радиус-вектора. Когда вы будете изучать дифференциальные уравнения, Вы об этом узнаете подробнее.

       Остановимся на единицах измерения силы. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг), а единицу измерения силы определим из второго закона Ньютона (11):

(15)

В системе СИ единица измерения силы называется Ньютон. Можно сказать, что один Ньютон это такая сила, которая сообщает телу массой ускорение :

(15a)

Подведем итог:

1. Согласно второму закону Ньютона — произведение ускорения  материальной точки на массу равно силе (11) (равенство векторное)
2. Из второго закона Ньютона уравнение движения материальной точки определяются с точностью до двух векторных констант (шести скалярных). Эти константы определяются из начальных условий (начальной скорости и начального положения материальной точки)

Третий закон Ньютона.

Третий закон Ньютона устанавливает связь между силами, с которыми два тела действуют друг на друга. Согласно этому закону:

Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

(16)

Иногда говорят, что сила действия равна силе противодействия. Здесь нужно четко понимать, что силы и  приложены к разным телам.

В заключение отметим, что:

1. Второй закон Ньютона справедлив во всех инерциальных системах отсчета и только в них.
2. Любая инерциальная система движется с постоянной скоростью относительно гелиоцентрической системы отсчета.
3. В неинерциальных системах отсчета могут появиться силы, происхождение которых нельзя объяснить действием других тел.
4. Для определения закона движения материальной точки необходимо знать начальную скорость и начальное положение материальной точки.

Принцип относительности Галилей говорит о том, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения импульса.

       До этого момента мы говорили о движении материальной точки. Сейчас остановимся на вопросе о том, как можно описать движется нескольких материальных точек. Чтобы подойти к решению этой задачи потребуется ввести понятие импульса материальной точки и системы материальных точек:

1. Импульсом (моментом количества движения) материальной точки называется произведение массы этой точки на ее скорость:

(17)

1. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов материальных точек входящих в рассматриваемую систему:

(18)

Почему естественно ввести понятие импульса материальной точки? Да потому, что второй закон Ньютона указывает на то, что под действием силы изменяется именно импульс:

(19)

А достаточно ли знать насколько большой должна быть сила, для того, чтобы дать ответ на вопрос о том, как изменится импульс? Для ответа на этот вопрос проинтегрируем уравнение (19) по времени:

(20)

Отсюда мы видим, что изменение импульса равно интегралу от силы за время её действия. Т.е. если мы хотим получить большое изменение импульса тела (в конечном счете, скорости) то нужно либо действовать не очень большой силой, но долго, либо достаточно большой силы, которая действует недолго. Интеграл по времени от силы называется импульсом силы:

(21)

Единица измерения импульса силы: , т.е. такая же, как и единица импульса (это сразу видно из равенства (20)). Рассмотрим простой пример. Пусть футбольный мяч весит 0.5 кг, удар по мячу длится , а сила изменяется по закону  и мяч после удара летит с начальной скорость 108 км/ч. Найдем импульс силы, среднюю силу и максимальную силу действующие на мяч.

Переводим скорость в м/с (потому, что используем систему СИ)

Находим момент сил через изменение импульса (20) , а средняя сила равна . А сколько это один Ньютон, много или мало? Если приближенно считать ускорение свободного падения 9.8 м/с, то 100 гдавят на весы с силой (весят) . Т.е. около одного Ньютона.

Вернемся к импульсу. Из уравнения (20) можно сказать, что именно импульс является мерой количества движения материальной точки, поскольку именно эта величина напрямую (без всяких множителей) изменяется за счет действия внешних сил. Поэтому можно надеяться, что понятие импульса поможет разобраться с движением системы материальных точек. Начнем с самого простого случая. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, которые взаимодействуют между собой и с другими телами, называемыми внешними (по отношению к рассматриваемой системы). Движением внешних тел мы не интересуемся, и они для нас являются только источником сил. В этом случае второй закон Ньютона удобно записать в виде:

	(22a)
	(22b)

Здесь  — сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, и  — сила, с которой частица 1 действует на частицу 2. Сложим эти два уравнения и получим

(23)

Из третьего закона Ньютона (см. (16)) следует . И тогда если  система называется замкнутой и

(24)

Если же наша система состоит из Nчастиц, выкладки  оказываются немного подлиннее, а ответ тот же:

(23)

Если теперь опять учесть третий закон Ньютона, то внутренние силы взаимно уничтожаются и приходим к выводу, что изменение полного импульса системы происходит за счет внешних сил:

(24)

Если сумма внешних сил равна нулю, то система называется замкнутой. Из уравнения (24) следует, что импульс замкнутой системы сохраняется:

(25)

Уравнение (25) выражает закон сохранения импульса. Здесь уместно сделать ряд замечаний:

Поскольку импульс является векторной величиной, то фактически в законе сохранения импульса речь идет о сохранении трех проекций импульса (т.е. о трех законах сохранения):

(25)

Может оказаться, что равна нулю только проекция внешних сил на какую-то ось. Тогда сохраняется только проекция импульса на эту ось.

При получении закона сохранения импульса суммировались силы, приложенные к разным точкам (материальным) системы. К чему это может приводить мы увидим позднее, а сейчас заметим, что под действием внешних сил, сумма которых равна нулю, движение системы может быть очень сложным. Так, например, в замкнутой системе двух точек одинаковой массы m закон движения может иметь следующий вид:

	(26a)
	(26b)

При этом легко проверить, что суммарный импульс равен нулю:

(25)

Легко понять, что это случай когда частицы не взаимодействуют друг с другом. В качестве другого примера поведения системы двух частиц с равными массами можно привести следующий закон движения:

	(27a)
	(27b)

Легко видеть, что и в этом случае импульс системы нулевой:

	(28a)
	(28b)
	(28c)

Таким образом, относительное движение внутри системы может быть как угодно сложным, но не произвольным, а таким, чтобы полный импульс системы сохранялся, если конечно система замкнута. Обратим внимание на еще одну особенность приведенных примеров. В обоих случаях постоянной остаётся следующая величина:

(29)

Покажем, что это не случайно. Для этого введем радиус-вектор центра масс системы:

(30)

Здесь  — масса системы. Если взять производную по времени, то получим:

(31)

Здесь  — скорость центра масс системы, а  — полный импульс системы. Если переписать это соотношение немного в другом виде,

(31)

Т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость центра масс системы (сравните с таким же выражением для материальной точки (17)). Но аналогию можно провести и дальше:

(32)

Если система замкнута , то

(33)

Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка под действием силы, которая равна сумме масс внешних сил (пусть даже приложенным к разным точкам системы) (32). В случае замкнутой системы центр масс системы движется с постоянной скоростью, величина которой равна импульсу системы, делённому на массу системы. Ещё несколько замечаний о законе сохранения и центре масс системы:

1. Центр масс какого-либо тела совсем не обязательно совпадает с какой-нибудь точкой этого тела. Он может находиться и за пределами тела. Например, у кольца центр масс находится в середине кольца. Таких примеров можно привести очень много.
2. Как правило, движение замкнутой системы удобно рассматривать в системе отсчета, которая имеет начало в точке центра масс и движется со скоростью равной скорости центра масс (для замкнутой системы эта скорость постоянна (33)).
3. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства. Мы не будем это доказывать, но для дальнейшего развития физики понимание этого оказалось очень важным. Это является частным случаем знаменитой теоремы Эмми Нетер. А однородность пространства означает, что законы одинаковы для разных точек пространства.
4. В конечном счете, закон сохранения импульса позволяет рассчитать, как движется ракета, дать рекомендации по оптимизации работы двигателя и много чего. Да вот самый простой пример: «Пусть два пластилиновых шарика массами  и , и скоростями  и  сталкиваются, слипаются и движутся как одно целое. Из закона сохранения импульса скорость этого целого куска легко находится без всяких  предположений о характере взаимодействия»:

(34)

Гравитационные силы.

Экспериментально было обнаружено, что между любыми телами действует сила притяжения. Величина этой силы пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональна расстоянию между этими телами.

(35)

Это закон всемирного тяготения, коэффициент пропорциональности  называется гравитационной постоянной, которая должна быть получена из эксперимента. Действительно ниоткуда не следует, что два тела массой в один килограмм каждое будут притягиваться с 1 Н, если расстояние между ними равно 1 м. Больше того, если считать что  в (34) равна единице, то для размерности силы из (34) получим:

(36)

Но мы уже выбрали единицу измерения силы из второго закона Ньютона и размерность у неё  (см. (15)). Выход один, гравитационная постоянная является размерной, а размерность её определяется из условия:

(37)

Величину гравитационной постоянной, в отличии от её размерности, теоретически определить нельзя. В настоящее время её значение (полученное из опыта) равно:

(38)

Т.е. известна эта универсальная физическая постоянная с точность до одной сотой процента. В обычной жизни гравитационные силы, кроме силы с которой нас притягивает к себе Земля, заметной роли не играют. Например, если сделать два шара из вольфрама (плотность ) каждый весом в одну тонну, то каждый из шаров будет иметь радиус около 23 см. Если теперь их поднести вплотную друг к другу, то сила взаимодействия между ними будет примерно равна . С такой силой давит на весы пылинка весом тридцать миллиграмм. Ничтожно малая величина по сравнению с весом каждого из шаров. Всё хорошо, но хотелось бы написать силу в векторном виде (сила ведь векторная величина). Это можно сделать если опираться на выражение для величины силы (35), всё что нужно сделать, это умножить величину силы на единичный вектор, который задает направление этой силы:

(39a)

(39b)

Отсюда видно, что так написанные силы притяжения удовлетворяют третьему закону Ньютона.