Сила, действующая на элемент тока в магнитном поле.

Закон Ампера (сила Ампера).

Поскольку  ток это упорядоченное движение зарядов, то на проводник с током, помещенный в магнитное поле должна действовать сила. Чтобы вычислить величину этой силы выделим некоторый малый объем проводника . В этом объеме содержится носителей заряда i-го сорта. Каждый из этих носителей в среднем движется со средней скоростью . Поэтому сила, действующая на выделенный элемент проводника равна:

             (21)

Если учесть выражение для плотности тока через плотность и среднюю скорость носителей (14), то это выражение можно переписать в виде:

                                                     (22)    

 Если же проводник тонкий, то, учитывая  можно записать (22) в ещё более простом виде (не надо интегрировать плотность тока по площади):

                                                       (23)

Здесь — элемент длины проводника совпадающий с направлением тока. Формулы (22) и (23) выражают закон Ампера, а силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами Ампера. Поскольку магнитное поле создаваемое бесконечным тонким проводником с током известно (см. (20)), то сила, с которой один проводник действует на другой (если проводники можно считать тонкими и бесконечно длинными и если они параллельны) равна:

                                                                                                  (24)

Здесь — расстояние между тонкими и длинными проводниками,  сила тока в первом проводнике, который действует с силой  на элемент длины второго проводника, по которому течет ток . На самом деле это выражение применяют для определения силы тока: «Если по каждому из двух параллельным бесконечным проводникам, находящимся на расстоянии 1 метр течет ток в 1 ампер, то сила, с которой один проводник действует на 1 метр другого равна  Ньютона». Если аккуратно нарисовать вектора задающие ток и магнитное поле, то можно увидеть, что если токи текут в одном и том же направлении проводники притягиваются, в противоположных — отталкиваются.

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Начнем с того, что вычислим дивергенцию магнитного поля создаваемого элементом с током (17):

                     (25)

Докажем непосредственным вычислением, что :

     (26)

и

                                                                                                      (27)

но  и стал быть из (26) и (27) следует:

                                                                                                               (28)

Из принципа суперпозиции следует, что полное поле (вектор магнитной индукции) равно сумме полей от всех элементов тока (см. (13)) и, следовательно:

                                   (29)

Это означает, что дивергенция вектора магнитной индукции всегда равна нулю. Ну а из теоремы Остроградского-Гаусса это же утверждение в интегральном виде можно записать как:

                                           (30)

Напомним,  что для стационарного электрического поля, аналогичные равенства имеют вид:

                                                                                                      (29a)

                                                                                (30a)

Введем понятие силовых линий: «Силовой линий некоторого векторного поля называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с данным векторным полем». Силовые линии удобно использовать для графического представления векторного поля. При этом линии проводят так, что число линий пересекающих перпендикулярную им единичную площадку пропорционально величине (модулю) отображаемого векторного поля в данной точке. Написанные выше уравнения означают, что силовые лини электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов нет, и силовые линии замыкаются сами на себя.