Лекция 3. Математическое описание САР

Автоматические системы в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого звена автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние автоматической системы. Математическое описание автоматической системы - это описание процессов, протекающих в системе на языке математики.

Построение любой автоматической системы начинается с изучения объекта регулирования и составления его математического описания. В качестве объекта может выступать аппарат, технологический процесс, производство, предприятие или отрасль. Различие математических моделей объектов обуславливается их назначением. Эти модели описывают различные режимы работы объекта регулирования или автоматической системы и могут быть получены одним из следующих способов:

- экспериментально;

- аналитически;

- комбинированным.

При составлении дифференциального уравнения звена или автоматической системы в целом необходимо прежде всего выяснить фундаментальный физический закон, находящийся в основании протекающих в объекте регулирования процессов. Таким законом может быть:

- закон сохранения энергии;

- закон сохранения массы;

- закон равновесия моментов;

- основные законы электротехники;

- основные законы теплотехники и т.д.

Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного звена автоматической системы. После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение.

При экспериментальном способе уравнения моделей получают путем постановки специальных экспериментов или путем статистической обработки результатов длительной регистрации переменных объекта регулирования в условиях нормальной эксплуатации.

При комбинированном подходе уравнения моделей получают аналитическим путем с последующим уточнением параметров этих уравнений экспериментальными методами.

При разработке математического описания автоматических систем следует учитывать основные методологические положения теории автоматического регулирования. Это прежде всего системный подход к решению задач автоматического регулирования, рассматривающий поведение объекта регулирования и автоматического регулятора в процессе регулирования в неразрывной взаимосвязи; возможность применения методов теории автоматического регулирования к системам самой разнообразной физической природы вследствие абстрагирования математических моделей от конкретных физических систем. Кроме того, автоматическая система рассматривается как цепь взаимодействующих физически и информационно элементов и обладает способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном, строго определенном направлении; каждый же элемент автоматической системы рассматривается как преобразователь входного воздействия в выходную реакцию.

Математическое описание как отдельных элементов, так и автоматической системы в целом составляется, как правило, с рядом допущений и упрощений, удачность которых зависит от глубины знаний исследователя автоматической системы в данной области, его интуиции и обязательно подлежит экспериментальной проверке.

Способы описания САР. Описать работу САР можно словесно. Именно так мы поступаем, описывая работу известных автоматических систем. Такое описание совершенно необходимо при решении как задачи анализа, так и задачи синтеза автоматических систем, поскольку оно поясняет в первую очередь принцип работы конкретной системы.

Однако словесное описание не может в полной мере характеризовать автоматическую систему, поскольку оно не дает количественной оценки качества работы. Кроме того, существует много автоматических систем различных как по назначению, так и по принципу действия, и описание каждой из них в отдельности не позволяет делать обобщений и сравнивать различные системы между собой. Поэтому необходимо найти другие способы описания работы автоматических систем и ввести характеристики, которые позволяли бы оценивать и сравнивать различные по назначению и принципам работы системы.

Каким же требованиям должны удовлетворять характеристики и способы описания автоматических систем? Они должны:

1. Отражать специфику системы автоматического регулирования;

2. Быть применимыми к различным САР;

3. Быть точными и простыми для применения.

Рассмотрим эти требования подробнее.

Специфика автоматических систем заключается в том, что они выполняют задачу управления, регулирования или стабилизации. В первом случае автоматическая система поддерживает регулируемую величину по случайному закону, во втором - изменяет регулируемую величину по определенному закону, в третьем - поддерживает регулируемую величину с заданной точностью. Изменение регулируемой величины может происходить под действием нежелательных возмущений или задающих сигналов, специально подаваемых в автоматическую систему.

Работу любой автоматической системы в установившемся и переходном режимах можно описать, использовав дифференциальные уравнения, которые применимы для описания многих явлений природы и, в частности, процессов преобразования массы или энергии. А именно эти процессы и происходят в каждой автоматической системе независимо от ее принципа работы, конструктивного исполнения и назначения. Решив дифференциальные уравнения, можно определить значение регулируемой величины в любой момент времени при выбранном законе изменения возмущающего воздействия и произвести количественную оценку качества процесса автоматического регулирования.

При описании работы автоматических систем с помощью дифференциальных уравнений возникает ряд трудностей, обусловленных спецификой работы автоматических систем. С одной стороны введение ограничений и допущений приводит к упрощению математического описания автоматической системы, но, с другой стороны, это приводит к повышению погрешности вычислений. В каждом конкретном случае необходимо выбирать степень детализации автоматической системы, исходя из разумной сложности и погрешности вычислений.

Различают два рода уравнений:

1. Установившихся режимов - уравнения статики. Уравнения установившихся режимов, при которых возмущающие воздействия и величина нагрузки принимаются постоянными, обычно являются алгебраическими уравнениями, чаще всего линейными.

2. Переходных процессов - уравнения динамики. Уравнения динамики процесса регулирования, при которых возмущающие воздействия и величина нагрузки принимаются переменными, обычно являются дифференциальными или интегро-дифференциальными. Для систем с распределенными параметрами уравнения динамики получаются в частных производных. Они определяют поведение системы автоматического регулирования в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действия.

Для составления уравнений динамики система автоматического регулирования разбивается на отдельные элементы (звенья), и для каждого из них на основании того физического процесса, протекающего в данном звене процесса, составляется соответствующее уравнение. Совокупность уравнений динамики, составленных для всех элементов автоматической системы, определяет ее математическое описание.

Все объекты регулирования можно разделить на два класса:

- объекты с сосредоточенными параметрами, динамика движения которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями;

- объекты с распределенными параметрами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

В ряде случаев задачу составления дифференциальных уравнений процесса автоматического регулирования облегчает применение уравнений Лагранжа второго рода, составленных для обобщенных координат автоматической системы. Этот метод целесообразно использовать тогда, когда составление выражений кинетической и потенциальной энергии системы и диссипативной функции не представляет затруднений.

Математический аппарат в теории автоматического регулирования играет очень большую, но все же вспомогательную роль и приобретает значение лишь в том случае, когда он дает метод решения проблем автоматического регулирования в виде алгоритма, позволяющего довести решение до числовых значений. Разработка рабочего аппарата для анализа и расчета представляют собой порой не менее сложную задачу, чем разработка общего математического метода.

В дальнейшем рассматриваются только объекты регулирования с сосредоточенными параметрами.

Уравнения статики САР. Статики изучает равновесные установившиеся состояния автоматической системы или ее частей при постоянных значениях возмущающих и управляющих воздействий. В статике не изучаются вопросы устойчивости состояний равновесия. Равновесное состояние простейших звеньев определяется одной выходной переменной в зависимости от состояния входной переменной y = f(x). Это уравнение называется уравнением статики звена или системы, а график, изображающий эту функцию в указанных координатах называется статической характеристикой звена или системы.

Звенья, уравнения которых в динамике не отличаются от их уравнений в статике, называются статическими или безинерционными. Статическая характеристика называется аналитической, если она непрерывна и имеет во всех точках непрерывные производные. Аналитические статические характеристики представляют гладкие кривые.

Частным случаем аналитических статических характеристик являются линейные статические характеристики, уравнение которых есть уравнение прямой линии: y = a + bx или степенные характеристики вида y = a + bxⁿ

Неаналитические статические характеристики имеют разрывы непрерывности либо самой координаты, либо ее производных.

В системах автоматического регулирования встречаются устройства с разнообразными существенно нелинейными статическими характеристиками. Такие характеристики включают в себя зоны нечувствительности, насыщения, гистерезиса и т.п.

Если на вход автоматической системы или ее элементов, обладающих нечувствительностью, подается сигнал, то пока величина этого сигнала не превысит некоторого определенного порогового значения на выходе не возникнет никакого ответного сигнала. Это пороговое значение входного сигнала определяет величину нечувствительности данного устройства или автоматической системы в целом. Для выявления зоны нечувствительности снимается статическая характеристика системы или ее элементов. Зона нечувствительности отразится в виде некоторого участка статической характеристики, расположенного по оси абсцисс около начала координат с ординатой равной нулю.

Появление зон нечувствительности в статических характеристиках отдельных звеньев может вызываться различными причинами, зависящими от конструктивного выполнения данного устройства или условий эксплуатации. Нечувствительность может вызываться:

- перекрышами в управляющих элементах типа сопло-заслонка;

- перекрышами в пневматических и гидравлических золотниках;

- предварительной затяжкой пружин;

- сухим трением в подвижных частях различных элементов систем автоматического регулирования;

- зазорами в шарнирных или зубчатых соединениях элементов и т.п.

Гистерезиспредполагает зоны линейности, когда выходная координата изменяется линейно, т.е. пропорционально изменению входной, и значению ее, соответствующего порогу нечувствительности. Угол наклона определяется коэффициентом пропорциональности. Для характеристик с зонами гистерезиса обычным является то, что в динамике выходная величина того или иного устройства изменяется по одной ветви при положительном знаке скорости и по другой ветви - при отрицательной.

В зонах насыщения выходная координата системы автоматического регулирования или ее устройства не меняется с изменением входной координаты. В характеристике это отражается наличием участка, параллельного оси абсцисс. Наличие зон насыщения в характеристиках систем автоматического регулирования объясняется ограничением мощности источников энергии, ограничением хода исполнительных устройств, ограничением напряжения питания или тока нагрузки и т.п.

В практике создания автоматических систем встречаются случаи, когда стандартный элемент не обладает требуемой статической характеристикой. В таких случаях для получения требуемой статической характеристики в систему можно добавить статические корректирующие звенья со специально подобранными статическими характеристиками.

Типичные нелинейные статические характеристики звеньев автоматических систем