Истинное значение измеряемой величины

Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения абсолютно точно  истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х₁ х₂ х_i….х_n. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆n_i и вычислим вероятности их выпадения по формуле:  

                                                         (6)

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - х_i, т.е. функцию .

                P_max

х_i

                        х_в                           .

Рис. 1.

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат х_i= х_в, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения P_max.

Если этот результат (х_в) принять за истинный, то абсолютную ошибку каждого измерения ∆х_i, можно найти из выражения: ∆х_i= х_i- х_в и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

∆х_i= х_i- х_в=0                                                 (7)

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n₀ и вероятности выпадения ошибок

Затем построим зависимость вероятности выпадения результатов измерений P от (х_i-z) для трех значений z ( z<x_в, z=x_в, z>x_в). На рисунке 2 представлена эта зависимость, которая представляет собой туже зависимость P, что на рис.1. ( и получена из тех же результатов ), но сдвинутая на величину z влево по оси абсцисс. Ясно, что P имеет максимум при z=x_в в нуле, а при других значениях z максимум отличается от нуля.

Тогда , если рассмотреть функцию

где x_i – результат i-го измерения, n – число измерений, то о её свойствах можно сказать следующее. Функция y(x) всегда положительна, так как является суммой квадратов. Она имеет минимум при x=x_в, что следует из данных представленных на рис.2. Качественно функция y(x) изображена на рисунке 3.

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Возьмем производную от функции (4) и приравняем её нулю.

Тогда получаем:

       (10)

Таким образом, истинное значение наиболее близко находится к наиболее вероятному значению x_в, которое равно среднему арифметическому , получаемое от нескольких идентичных измерений.