Моменты инерции некоторых геометрических тел

Тело		J	Тело		J
Цилиндр с тонкими стенками радиусом R		mR2	Сплошной однородный  стержень длиной L		1/12 mL2
Сплошной однородный диск или цилиндр радиусом R		½mR2			1/3 mL2
Сфера сплошная однородная  радиусом R		2/5 mR2	Прямоугольная призма со сторонами основания  c и  b		1/12 m *(c2 +b2}

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

КРУЧЕНИЕ

Деформация кручения возникает, если стержень (рассмотрим круглый стержень) закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент , имеющий направление вдоль стержня, то стержень получит деформацию, при которой его верхнее основание отклонится по отношению к нижнему на некоторой угол φ (см. рис. 3).

Закон Гука для деформации кручения имеет вид:

M=fφ,                         (6)

где f - модуль кручения, который является характеристикой материала стержня.

Выберем мысленно из стержня кольцо с радиусом r, толщиной dr и высотой dl (см. рис. 4). Если кольцо разбить на кубики (прямоугольные призмы), то каждый из них будет иметь одинаковую деформацию сдвига, угол сдвига при этом будет dγ.

Рис.4

Верхнее основание кольца смещается относительно нижнего на угол dφ.  Тогда смещение ds  верхней поверхности кольца относительно нижней поверхности будет

ds = rdφ = dl dγ,

отсюда найдем угол сдвига:          .

Тангенциальное напряжение при деформации сдвига определяется формулой ,        где F - касательная сила,    S - площадь сдвигаемого слоя,

Закон  Гука  для деформации сдвига τ = G γ , здесь G - модуль сдвига, зависящий от материала деформируемого тела., а γ - угол сдвига.

Тангенциальное напряжение для нашего случая запишется:

 Можно найти тангенциальное усилие dF на поверхности  кольца площадью dS=2πrdr.  Это будет

Момент этого усилия          

Общий момент усилия по всей поверхности поперечного сечения стержня

,          где R = r + dr

Угол закручивания φ торцевых сечений, находящегося на расстоянии L друг от друга равен , в то же время имеем

Тогда ,   но поскольку M = fφ,      то     (7)