Определение динамических свойств звеньев по частотным характеристикам

Теоретическая часть

Частотные характеристики звеньев

Частотной характеристикой называется реакция звена (системы) на синусоидальное входное воздействие.

Предположим, что на вход звена (системы) с передаточной функцией  подан синусоидальный сигнал .

Тогда изображение по Лапласу входной функции будет .

Выходной сигнал в установившемся режиме будет:

.

Данное выражение можно разложить на простые дроби:

,

где  включает в себя все члены разложения, обусловленные знаменателем . Предполагается, что все составляющие реакции системы, соответствующие слагаемому , с течением времени стремятся к нулю. Это означает, что в установившемся режиме реакция системы на синусоидальное воздействие также будет синусоидой той же частоты ,  – амплитуда выходного сигнала;
 – фазовый сдвиг гармонических колебаний.

В показательной форме выходной сигнал запишется в следующем виде:

.

Отношение выходного сигнала к входному при подаче на вход синусоидальной функции называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой (АФЧХ):

.

где  – вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики;
 – мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

Так же, как и передаточная функция , частотная передаточная функция представляет собой отношение выходной координаты к входной. Только в первом случае это отношение рассматривается в изображениях по Лапласу, а во втором случае – в виде отношения гармонических сигналов в показательной форме.

 – модуль частотной передаточной функции или
амплитудная характеристика.

 – аргумент частотной передаточной функции или фазовая характеристика.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты.

Фазово-частотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость сдвига фаз выходного сигнала от частоты по отношению к входному.

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики, состоящие из логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (ЛФЧХ).

ЛАЧХ динамического звена представляется в виде .

Единицей измерения амплитуды на выходе звена (системы) является децибел. Один бел соответствует увеличению мощности сигнала в 10 раз, два бела – в 100 раз. Децибел равен одной десятой части бела.

Соотношения между  и  показаны в таблице 3.

Таблица 3. Соотношения между  и .

	0,001	0,01	0,1	1	10	100	1000
,дБ	-60	-40	-20	0	20	40	60

Частота  в логарифмических частотных характеристиках измеряется в декадах. Одна декада соответствует изменению частоты в 10 раз. Соотношения между  и  приведены в таблице 4.

Таблица 4. Соотношения между  и .

,1/сек	0,1	0,2	0,4	0,6	1	2	4	6	8	10	20	40
, дек	-1	-0,7	-0,4	-0,2	0	0,3	0,6	0,77	0,93	1	1,3	1,6

Фазовый сдвиг  при построении в логарифмическом масштабе остается в тех же единицах (в радианах или в градусах).

Логарифмической фазово-частотная характеристикой (ЛФЧХ) называется зависимость фазового сдвига, выраженного в радианах или в градусах, от частоты, выраженной в декадах: .

Определение динамических свойств звеньев по частотным характеристикам

Рассмотрим частотные характеристики системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид:

.

Частотная функция такой системы:

,

где амплитудная и фазовая характеристики определяются соответственно следующими выражениями

,

На рисунке 2 изображен график функции амплитудной характеристики системы первого порядка.

Рисунок 2. – График функции амплитудно-частотной характеристики
системы первого порядка

На графике  обозначает частоту, при которой коэффициент усиления системы в  раз меньше его значения при очень низких частотах; эта частота определяет полосу пропускания системы. Понятие полосы пропускания возникло при исследовании усилителей, и оно характеризует частоту, при которой мощность сигнала на выходе усилителя уменьшается в 2 раза по сравнению с ее максимальным значением на низких частотах.

Для системы первого порядка полоса пропускания определяется из уравнения:

,

откуда . Следовательно, постоянная времени  имеет определенный смысл и в частотной области.

Предположим, что в данной системе первого порядка желательно уменьшить время нарастания в 2 раза. Это значит, что в выражении новая постоянная времени должна быть равна . Соответственно, полоса пропускания увеличится в 2 раза.

Для систем второго порядка передаточная функция имеет вид

.

Воспользуемся нормированной частотой  и получим выражение для амплитудной частотной характеристики

.

Эта характеристика представлена графически на рисунке 3 для различных значений . 

Из рисунка 3 видно, что при заданном значении  отношение . Следовательно, при фиксированном значении  увеличение  во столько же раз увеличивает полосу пропускания . При постоянном  увеличение  во столько же раз уменьшает  и, следовательно, время нарастания.

Рисунок 3. – Графики функции амплитудной характеристики системы второго порядка при различных значениях