СГЛАЖИВАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ САВИЦКОГО—ГОЛЕЯ.

Сглаживающие фильтры Савицкого—Голея, также называемые полиномиальными сглаживающими фильтрами или сглаживающими фильтрами с минимальной квадратической ошибкой, как правило, используются для “сглаживания” зашумленных сигналов с широким (без шума) спектром. В данном случае сглаживающие фильтры Савицкого—Голея работают намного лучше обычных усредняющих нерекурсивных фильтров, которые имеют тенденцию вместе с шумом удалять значительную долю высокочастотных составляющих сигнала. Фильтры Савицкого—Голея лучше сохраняют высокочастотные компоненты сигнала, однако обеспечивают худшее подавление шума по сравнению с обычными нерекурсивными фильтрами.

Фильтры Савицкого—Голея осуществляют полиномиальную аппроксимацию отдельных кадров входного сигнала по критерию минимума квадратической ошибки. В этом смысле они являются оптимальными.

МЕДИАННЫЙ ФИЛЬТР.

Медианные фильтры достаточно часто применяются на практике, как средство предварительной обработки цифровых данных. Специфической особенностью и основным достоинством таких фильтров является слабая реакция на отсчеты, резко выделяющиеся на фоне соседних, что позволяет применять медианную фильтрацию для устранения аномальных значений в массивах данных. Характерной особенностью медианного фильтра является его нелинейность. Во многих случаях применение медианного фильтра оказывается более эффективным по сравнению с линейными фильтрами, поскольку процедуры линейной обработки данных являются оптимальными при гауссовом распределении помех, что не всегда характерно для реальных сигналов. В случаях, когда перепады значений сигналов велики по сравнению с дисперсией гауссовского шума, медианный фильтр дает меньшее значение среднеквадратической ошибки выходного сигнала в отношении к входному, незашумленному сигналу при сравнении с оптимальными линейными фильтрами.

Медианный фильтр представляет собой оконный фильтр, последовательно скользящий по массиву сигнала, и возвращающий на каждом шаге один из элементов, попавших в окно (апертуру) фильтра. Выходной сигнал y_k скользящего медианного фильтра шириной n для текущего отсчета k формируется из входного временного ряда …, x_k-1, x_k, x_k+1,… в соответствии с формулой:

y_k = Me(x_k-(n-1)/2,…, x_k,…,x_k+(n-1)/2),

где Me(x₁,…,x_n) = x_((n+1)/2) – элементы вариационного ряда, т.е. ранжированные в порядке возрастания значений x₁ = min(x₁,…, x_n) ≤ x₍₂₎ ≤ x₍₃₎ ≤ … ≤ x_n = max(x₁,…, x_n). Ширина медианного фильтра выбирается с учетом того, что он способен подавить импульс шириной (n-1)/2 отсчетов, при условии, что n – нечетное число.

Таким образом, медианная фильтрация реализуется в виде процедуры локальной обработки отсчетов в скользящем окне, которое включает определенное число отсчетов сигнала. Для каждого положения окна выделенные в нем отсчеты ранжируются по возрастанию или убыванию значений. Средний по своему положению отсчет в ранжированном списке называется медианой рассматриваемой группы отсчетов, если число отсчетов нечетно. Этим отсчетом заменяется центральный отсчет в окне для обрабатываемого сигнала. При четном количестве отсчетов медиана устанавливается, как среднее арифметическое двух средних отсчетов. В качестве начальных и конечных условий фильтрации обычно принимается текущее значение сигнала, либо медиана находится только для тех точек, которые вписываются в пределы апертуры.

Благодаря свои характеристикам, медианные фильтры при оптимально выбранной апертуре могут сохранять без искажений резкие границы объектов, подавляя некоррелированные и слабо коррелированные помехи и малоразмерные детали. Ваналогичных условиях алгоритмы линейной фильтрации неизбежно «смазывают» резкие границы и контуры объектов.

Достоинства медианных фильтров.

• Простая структура фильтра, как для аппаратной, так и для программной реализации.
• Фильтр не изменяет ступенчатые и пилообразные функции.
• Фильтр хорошо подавляет одиночные импульсные помехи и случайные шумовые выбросы отсчетов.

Недостатки медианных фильтров.

• Медианная фильтрация нелинейна, так как медиана суммы двух произвольных последовательностей не равна сумме их медиан, что в ряде случаев может усложнять математический анализ сигналов.
• Фильтр вызывает уплощение вершин треугольных функций.
• Подавление белого и гауссового шума менее эффективно, чем у линейных фильтров. Слабая эффективность наблюдается также при фильтрации флюктуационного шума.
• При увеличении размеров окна фильтра происходит размытие крутых изменений сигнала и скачков.

Недостатки метода можно уменьшить, если применять медианную фильтрацию с адаптивным изменением размера окна фильтра в зависимости от динамики сигнала и характера шумов (адаптивная медианная фильтрация). В качестве критерия размера окна можно использовать, например, величину отклонения значений соседних отсчетов относительно центрального ранжированного отсчета /1i/. При уменьшении этой величины ниже определенного порога размер окна увеличивается.

РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Запустить ВП median_f.vi

2. Пронаблюдать влияние разрядности фильтра (Filter Rank) на результат фильтрации. Объяснить полученные результаты.

3. Изменяя тип и параметры линейных фильтров, добиться максимального подавления помех.

4. Сравнить результаты медианного фильтра с результатами подавления помех линейными фильтрами. Объяснить полученные результаты.

5. Запустить ВП Savitzky-Golay_f.vi

6. Пронаблюдать влияния порядка полинома и количества точек усреднения на результат фильтрации. Объяснить полученные результаты.

7. Изменяя тип и параметры линейных и медианного фильтров, добиться максимального подавления помех.

8. Сравнить результаты фильтра Савицкого-Голея с результатами подавления помех медианным фильтром и линейными фильтрами. Объяснить полученные результаты.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЁТА

Отчёт должен содержать:

- титульный лист с наименованием учебного заведения, кафедры, курса, лабораторной работы, фамилией и подписью студента;

- указание цели работы;

- описание объектов исследования;

- результаты выполнения работы;

- заключение, в котором приводится краткое перечисление выполненных действий, полученных результатов и сделанные из этих результатов выводы.