РАСЧЕТ ПРОСТОГО ФИЛЬТРА ПО ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ.

Лабораторная работа №3

ФИЛЬТРЫ СГЛАЖИВАНИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В рамках данной лабораторной работы необходимо исследовать фильтры МНК Савицкого-Голея и медианные фильтры и сравнить их с линейными фильтрами.

Фильтры мнк 1-го порядка.

Предположим, что требуется осуществить сглаживание (аппроксимацию) равномерного по аргументу массива данных методом наименьших квадратов (МНК).

Расчет коэффициентов фильтра. Простейший способ аппроксимации по МНК произвольной функции s(t) - с помощью полинома первой степени, т.е. функции вида y(t) = A+Bt (метод скользящих средних). Произведем расчет симметричного фильтра МНК на (2N+1) точек с окном от -N до N.

Для определения коэффициентов полинома найдем минимум функции остаточных ошибок приближения. С учетом дискретности данных по точкам t_n = nDt и принимая Dt = 1, для симметричного НЦФ с нумерацией отсчетов по n от центра окна фильтра (в системе координат фильтра), функция остаточных ошибок записывается в форме:

s(A, B) = [s_n - (A+B·n)]².

Дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В, и, приравнивая полученные уравнения нулю, формируем 2 нормальных уравнения с двумя неизвестными:

(s_n-(A+B·n)) º s_n - A 1 - B n = 0,

 (s_n-(A+B·n))·n º n×s_n - A n - B n² = 0.

С учетом равенства n = 0, решение данных уравнений относительно А и В:

А = s_n , B = n×s_n / n².

Подставляем значения коэффициентов в уравнение аппроксимирующего полинома, переходим в систему координат по точкам k массива y(k+t) = A+B·t, где отсчет t производится от точки k массива, против которой находится точка n = 0 фильтра, и получаем в общей форме уравнение фильтра аппроксимации:

y(k+t) = s_k-n + t n×s_k-n / n².

Для сглаживающего НЦФ вычисления производятся непосредственно для точки k в центре окна фильтра (t = 0), при этом:

y_k = s_k-n.                              (1)

Импульсная реакция фильтра соответственно определяется (2N+1) значениями коэффициентов b_n = 1/(2N+1). Так, для 5-ти точечного НЦФ:

h(n) = {0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}.

Передаточная функция фильтра в z-области:

H(z) = 0.2(z^-2+z^-1+1+z¹+z²).

       Коэффициент усиления дисперсии шумов:

K_q = S_n h²(n) = 1/(2N+1),

т.е. обратно пропорционален ширине окна фильтра. Зависимость значения K_q от ширины окна приведена на рис. 1.

Частотная характеристика фильтра (передаточная функция фильтра в частотной области) находится преобразованием Фурье импульсной реакции h(n) (фильтр симметричный, начало координат в центре фильтра), или подстановкой z = exp(-jwDt) при Dt=1 в выражение передаточной функции H(z). И в том, и в другом случае получаем:

H(w) = 0.2[exp(2jw)+exp(jw)+1+exp(-jw)+exp(-2jw)].      (2)

Можно использовать и непосредственно уравнение фильтра (1). Подадим на вход фильтра гармонический сигнал вида s_k = exp(jwk). Так как сигнальная функция относится к числу собственных, на выходе фильтра будем иметь сигнал y_k = H(w)exp(jwk). Подставляя выражения входного и выходного сигналов в уравнение (1), получаем:

H(w) exp(jwk) = 0.2 exp(jw(k-n))= 0.2 exp(jwk) exp(-jwn).

Отсюда, выражение для передаточной функции:

H(w) = 0.2 exp(-jwn) = 0.2[exp(2jw)+exp(jw)+1+exp(-jw)+exp(-2jw)],

что полностью идентично выражению (2).

Так как импульсная реакция фильтра МНК симметрична (функция h(n) четная), частотное представление передаточной функции должно быть вещественным, в чем нетрудно убедиться, объединив комплексно сопряженные члены выражения (2):

H(w) = 0.2(1+2 cos w+2 cos 2w).

Альтернативное представление передаточной функции H(w) фильтра с произвольным количеством коэффициентов 2N+1 достаточно хорошо известно, как нормированный фурье-образ прямоугольной функции, каковой по существу и является селектирующее окно фильтра (1):

H(w) = sin((N+1/2)w)/[(N+1/2)w] = sinc((N+1/2)w).   (3)

Рис. 2. Частотные характеристики фильтров МНК-1.

Графики передаточных функций (3) приведены на рисунке 2. По графикам можно видеть коэффициент передачи сигнала с входа на выход фильтра на любой частоте в главном частотном диапазоне. Без ослабления (с коэффициентом передачи 1) сглаживающим фильтром пропускается только сигнал постоянного уровня (нулевой частоты). Сумма коэффициентов сглаживающего НЦФ всегда должна быть равна 1 (отсчет дискретного фурье-преобразования на частоте w = 0 равен сумме значений входной функции).

Чем больше число коэффициентов фильтра (шире окно фильтра), тем уже полоса пропускания низких частот. Подавление высоких частот довольно неравномерное, с осцилляциями передаточной функции относительно нуля. На рис. 3 приведен пример фильтрации случайного сигнала (шума) фильтрами с разным размером окна.

Рис. 3. Фильтрация шумов фильтрами МНК 1-го порядка.

Модификация фильтра. Частотное представление передаточных функций позволяет наглядно видеть особенности фильтров и целенаправленно улучшать их характеристики. Так, если в рассмотренном нами фильтре с однородной импульсной реакцией h_n = 1/(2N+1) уменьшить два крайних члена в 2 раза и заново нормировать к сумме S h_n = 1, то частотные характеристики фильтра заметно улучшаются. Для нахождения передаточной функции модифицированного фильтра снимем в выражении (3) нормировку на 2N+1, вычтем значение 1/2 крайних членов (exp(-jwN)+exp(jwN))/2 = cos wN и заново пронормируем полученное выражение к 1 (разделим на 2N). Пример новой передаточной функции при N=3 приведен на рисунке 4. Передаточные функции модифицированных таким образом фильтров приводятся к нулю на частоте Найквиста, при этом несколько расширяется полоса пропускания низких частот и уменьшается амплитуда осцилляций в области подавления высоких частот. Если смотреть на сглаживание, как на операцию подавления высокочастотных помех, то модифицированные фильтры больше соответствует своему назначению.

Оптимизация сглаживания. При выборе окна фильтра следует учитывать как коэффициент подавления дисперсии шумов, так и степень искажения полезного сигнала, на который наложены шумы. Оптимальное окно фильтра может быть определено только в том случае, если спектр сигнала известен и ограничен определенной верхней частотой, а мощность шумов не превышает определенного уровня.

       Последовательная фильтрация. Из фильтров МНК можно конструировать новые фильтры, частотные характеристики которых соответствуют последовательному применению «родительских» фильтров. Это выполняется последовательной n-кратной сверткой оператора исходного фильтра с самим собой, что дает эквивалент операторов n-кратной последовательной свертки данных с «родительским» оператором. Обычно применяется одно- и двукратная свертка, при этом окно нового фильтра расширяется, полоса пропускания по уровню 0.5 уменьшается (примерно на 25 и 40% соответственно), но резко уменьшается амплитуда пульсаций в зоне подавления (примерно в 4 и 16 раз соответственно).

РАСЧЕТ ПРОСТОГО ФИЛЬТРА ПО ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ.

Если шумы в обрабатываемых сигналах сосредоточены в основном в высокочастотной области, то достаточно простые фильтры сглаживания без значительных осцилляций могут быть синтезированы непосредственно по частотной характеристике. В качестве примера проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ с окном в пять точек:

y_k = as_k-2+bs_k-1+cs_k+bs_k+1+as_k+2.                      (4)

Полагаем s_k = exp(jwk), при этом y_k = H(w) exp(jwk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jwk) и, объединяя комплексно сопряженные члены в правой части, получаем уравнение передаточной функции:

H(w) = 2a cos 2w + 2b cos w + c.

Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H(p) = 0. Отсюда: 

H(0) = 2a+2b+c = 1,

H(p) = 2a-2b+c = 0.

B = 1/4, c = 1/2-2a.

При этом функция H(w) превращается в однопараметровую:

H(w)=2a(cos 2w-1)+(cos w+1)/2.

По полученному выражению рекомендуется построить семейство кривых в параметрической зависимости от значений 'а' и выбрать фильтр, удовлетворяющий заданию. Пример семейства частотных характеристик приведен на рисунке 5.

Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно. Так, например, если к двум граничным условиям задать третье условие сбалансированности: H(w) = 0.5 при w=p/2, то из трех полученных уравнений сразу же получим все три коэффициента фильтра: a = 0, b = 1/4, c = 1/2 (фильтр сокращается до трех точек).

В принципе, таким методом можно задать любую произвольную форму частотной характеристики симметричного НЦФ с произвольным количеством N точек дискретизации, что определит полное уравнение (4) с окном 2N+1 точка и соответствующую передаточную функцию фильтра, по которой можно составить и решить N+1 уравнение для определения коэффициентов фильтра.

В целом, по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следующие выводы:

1. Повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте w = 0 и расширяет полосу пропускания фильтра.

2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.

3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов.

Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.