Проверка значимости коэффициентов

После получения уравнения регрессии, адекватного объекту, необходимо проверить возможность упрощения данного уравнения.

Для этого проводится проверка значимости коэффициентов, после которой все значимые коэффициенты остаются в уравнении, незначимые – могут быть исключены без потери свойства адекватности модели.

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо. Ее можно осуществить двумя равноценными способами:

1. проверка по t – критерию Стьюдента;

2. путем построения доверительного интервала.

При использовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы для всех коэффициентов равны друг другу.

Алгоритм проверки значимости по t – критерию Стьюдента:

1. Определяется дисперсия воспроизводимости по формуле (15), .

2. Определяется дисперсия коэффициента регрессии по формуле (17):

,                                                        (17)

.

3. Определяется доверительный интервал

,                                                             (18)

где t – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которой определялась дисперсия воспроизводимости, и выбранным уровнем значимости, равным 0,05;

 - средне квадратичная ошибка регрессии.

При числе степеней свободы  табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,78.

.

, следовательно, a₀ – значимый коэффициент.

, следовательно, a₁ – незначимый коэффициент.

Второй способ основывается на следующем выражении:

,                                                           (19)

,

.

, следовательно, a₀ – значимый коэффициент.

, следовательно, a₁ – незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

ВЫВОД: проведена проверка значимости каждого коэффициента двумя равноценными способами:

1. проверка по t – критерию Стьюдента;

2. путем построения доверительного интервала.

Проведена проверка значимости по t – критерию Стьюдента:

1. Определена дисперсия воспроизводимости: ;

2. Определена дисперсия коэффициента регрессии ;

3. Определен доверительный интервал. При числе степеней свободы  табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,78. Доверительный интервал .

, a₀ – значимый коэффициент.

, a₁ – незначимый коэффициент.

Проведена проверка вторым способом:

,

.

, a₀ – значимый коэффициент.

, a₁ – незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы была выполнена параметрическая идентификация объекта методом наименьших квадратов.

Проведена параметрическая идентификацию, т.е. определили численное значение коэффициентов уравнения регрессии и .

Проведена проверка правильности выполнения расчетов аналитически и в Excel, которая показала, что коэффициенты найдены правильно. Таким образом, по результатам эксперимента определена модель системы в виде уравнения регрессии .

Определены невязки: , , , , .

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Для анализа общего качества уравнения регрессии использован множественный коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции), который получился .

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации использована функция Excel. Коэффициент детерминации получается равным 0,99. Это значение совпало со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически.

Значение коэффициента детерминации близко к единице, следовательно, построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. Значит, модель можно использовать для прогноза.

Построена прямая регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом. Прямая регрессии пересекает ось ординат в точке, равной 8,8, которая соответствует значению коэффициента а₀. Это значение совпадает со значением коэффициента а₀, вычисленным аналитически.

Проведена проверка адекватности модели, т.е. степень ее соответствия объекту, которая определяется по критерию Фишера. Для этого сделаны необходимые вычисления:

1) расчет остаточной суммы квадратов;

2) определена степень свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов: ;

3) рассчитано значение дисперсии адекватности: ;

4) определено число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: ;

5) вычислена дисперсия воспроизводимости: ;

6) для полученных дисперсий определена величина F – критерия Фишера:

;

7) по степеням свободы определено табличное значение критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, F_табл=6,59. Рассчитанное значение F < F_табл, т.е. рассчитанное значение не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.

Проведена проверку значимости каждого коэффициента двумя равноценными способами:

3. проверка по t – критерию Стьюдента;

4. путем построения доверительного интервала.

Проведена проверка значимости по t – критерию Стьюдента:

4. Определена дисперсия воспроизводимости: ;

5. Определена дисперсия коэффициента регрессии ;

6. Определен доверительный интервал. При числе степеней свободы  табличное значение критерия Стьюдента при выбранном уровне значимости, равном 0,05, равно t=2,78. Доверительный интервал .

, a₀ – значимый коэффициент.

, a₁ – незначимый коэффициент.

Проведена проверка вторым способом: , .

, a₀ – значимый коэффициент.

, a₁ – незначимый коэффициент.

Результаты двух методов совпадают, следовательно, расчеты были выполнены правильно.

Поставленные задачи на курсовую работу были выполнены. Закрепили полученные знания, навыки и применили их в расчётах.

Список литературы

1. Попов В.Н. Идентификация и диагностика систем. Учебник. – М.: МГТУ «МАМИ», 2007. – 304с.

2. Алексеев А.А., Кораблев Ю.А., Шестопалов М.Ю. Идентификация и диагностика систем. Учебник. – М.: Академия, 2009. – 352с.

3. Рогов В.А., Позняк Г.Г. Методика и практика технических экспериментов: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Академия, 2005. – 288 с.