Проверка адекватности полученной модели

Задание на курсовой проект

1. По результатам эксперимента, представленных в таблице 1, определить модель системы в виде уравнения регрессии  аналитически и в Excel

2. Рассчитать коэффициент детерминации аналитически и в Excel, сделать вывод о возможности использования модели для прогноза

Таблица 1 – Исходные данные

3. Графически построить линию регрессии и показать результаты опытов (метод Асковица)

4. Провести проверку адекватности полученной модели

5. Провести проверку значимости коэффициентов

Введение

Теория идентификации – научно-техническая дисциплина, изучающая построение моделей оценки параметров моделей. Предмет изучения – методы построения моделей и определение статических и динамических параметров.

Проблемы идентификации и диагностики связаны с разработкой технических устройств и алгоритмов обнаружения и распознавания объектов с требуемой точностью детализации.

Идентификация – процедура построения оптимальной (наилучшей в определённом смысле) математической модели и объекта по реализациям его наблюдаемых входных и выходных сигналов.

Жизненный цикл любой системы (объекта) состоит из этапов проектирования, производства и эксплуатации. Как на этапе создания, так и на этапе эксплуатации сложных автоматических и автоматизированных систем управления возникает необходимость определять текущие свойства этих систем. Свойства систем, в свою очередь, определяют их качество. К каждому из свойств предъявляются определенные требования, вытекающие из условий целевого применения системы или объекта. Несоответствие хотя бы одного из этих свойств установленным нормативной эксплуатационно-технической документацией требованиям свидетельствует о наличии в системе дефекта /1/.

В государственных стандартах дефект определяется как любое несоответствие того или иного изделия или системы требованиям, установленным нормативно-технической документацией. При этом дефект интерпретируется как некоторый изъян (недостаток) системы, являющийся результатом либо ошибки при его конструкторской разработке и изготовлении, либо использования некачественных комплектующих материалов и элементов, либо отклонения технологического процесса изготовления от заданного, либо несоблюдения установленных правил эксплуатации и применения, либо различного рода повреждений из-за воздействия непредусмотренных дестабилизирующих факторов (температурных, радиационных, ударных, акустических, климатических и т.п.).

Дефекты приводят к появлению отказов в системах. В динамических системах отказы принято классифицировать по форме возникновения, по характеру проявления, по причине возникновения, по времени существования и т. п. Кроме того, отказы обычно делят на отказы, приводящие к изменению динамических свойств системы и отказы в каналах передачи информации.

Таким образом, прежде чем допустить изготовленную систему к использованию по назначению необходимо проверить тем или иным способом ее на соответствие установленным требованиям по всей совокупности рассматриваемых свойств. Такая проверка осуществляется путем сопоставления измеренных значений показателей свойств объекта с их заданными (расчетными) значениями. В процессе функционирования системы также необходимо периодически осуществлять такие проверки с тем, чтобы своевременно выявлять дефекты и принимать необходимые меры к их устранению ид уменьшению вредных последствий.

Техническое состояние системы - совокупность подверженных изменению в процессе производства и эксплуатации свойств системы (объекта), характеризующих степень его функциональной пригодности в заданных условиях целевого применения. Определить техническое состояние - значит, выяснить, обладает ли система набором требуемых свойств, обеспечивающих пригодность ее к целевому применению и правильность выполнения ею своих функций непосредственно в процессе эксплуатации (целевого применения) и если не обладает, то по причине каких дефектов.

Техническое диагностирование – процесс определения технического состояния системы. Основными целями диагностирования являются проверки исправности, работоспособности, правильности функционирования системы (объекта) и поиск отказов в них в случае отрицательного исхода какой-либо из названных проверок.

Работоспособная система будет правильно функционировать во всех режимах и в течение всего времени работы. Исправная система всегда работоспособна и правильно функционирует. Правильно функционирующий объект может быть неработоспособен. Работоспособный объект также может быть неисправным.

Одной из важнейших задач технического диагностирования является поиск неисправностей, то есть указание мест и причин возникновения в системах неисправностей. После устранения неисправностей система становится исправной, работоспособной, правильно функционирующей.

Исправные и все неисправные состояния системы образуют множество ее технических состояний. Каждому из технических состояний системы соответствует определенная совокупность ее свойств, которая характеризуется соответствием (или несоответствием) качества системы определенным требованиям.

Получение исчерпывающих сведений о структуре и параметрах систем, находящихся в различных технических состояниях, включая и неработоспособные состояния, не всегда возможно в реальных условиях. Это связано с тем, какой дефект возник в системе: выход элемента, подсистемы из строя за счет обрыва электрических цепей вызовет затруднение в определении математической модели; скачкообразное изменение структуры системы в результате включения в работу новых подсистем или узлов или их выключения; постепенное изменение параметров, а иногда и структуры отдельных узлов и блоков позволит проводить идентификацию параметров и структуры математической модели системы в процессе ее нормального функционирования.

Обычно полные математические модели систем получают на этапе их создания, путем проведения значительной по объему теоретической проработки и экспериментальных исследований. В процессе нормального функционирования чаще всего модель не строят, а уточняют ее параметры, а иногда и структуру. Это сокращает время поиска дефектов.

Таким образом, априорная информация о системе, полученная на этапе проектирования, имеет важное значение при проведении идентификации для целей технического диагностирования. Чем больше объем информации, тем быстрее и точнее определяется техническое состояние системы.

Методы идентификации, основанные на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов, применимы как к линейным, так и к нелинейным системам и облегчают проведение идентификации по нескольким входам одновременно. Более того, регрессионные методы позволяют осуществлять идентификацию в реальном масштабе времени, поскольку основаны на измерениях входных и выходных сигналов, которые можно получить как в процессе нормального функционирования системы (пассивный эксперимент), так и при испытаниях систем - проведении активного эксперимента. Основные требования к данному методу заключаются в том, что в течение периода, пока выполняются измерения, параметры идентифицируемого процесса (системы) принимаются стационарными или квазистационарными. Этот период должен быть не менее mТ, где Т – интервал измерения, a m - число идентифицируемых параметров /1/.

1 Определение модели системы в виде уравнения регрессии

Моделью объекта идентификации в методе наименьших квадратов является уравнение регрессии:

.                                                              (1)

При различных значениях входного сигнала проведено несколько опытов, в каждом из которых входному сигналу соответствует выходной. При этом структура модели считается известной, т.е. ранее проведена структурная идентификация.

Необходимо провести параметрическую идентификацию, т.е. определить численное значение коэффициентов уравнения регрессии a₀ и a₁, которые находятся по формулам (2) и (3):

,                                                        (2)

.                                                          (3)

Для удобства обработки построим в Excel таблицу 2.

Таблица 2 – Таблица обработки данных

;

.

Более удобно вычислять значения коэффициентов с помощью формул (4) и (5):

,                                                        (4)

,                                                                          (5)

;

.

Проверим вычисленные значения аналитически и в Excel.

В Excel, с помощью функции =ЛИНЕЙН(C2:C6;B2:B6), мы получили значение коэффициента a₁= - 0,26, которое совпадает с аналитически вычисленным значением. Определение численного значения коэффициента уравнения регрессии a₁ представлено на рисунке 1.

Рисунок 1 – Определение численного значения коэффициента уравнения регрессии a₁

Для аналитической проверки правильности выполнения расчетов используем формулы (6) и (7):

,                                (6)

;

;

,                                                  (7)

;

.

Очевидно, что расчеты выполнены правильно, следовательно модель системы в виде уравнения регрессии будет выглядеть следующим образом: .                                                    (8)

ВЫВОД: проведена параметрическая идентификация, т.е. определено численное значение коэффициентов уравнения регрессии и .

Проведена проверка правильности выполнения расчетов аналитически и в Excel, которая показала, что коэффициенты найдены правильно. Таким образом, по результатам эксперимента определили модель системы в виде уравнения регрессии .

2 Расчет коэффициента детерминации

Анализ уравнения регрессии показывает, что это прямая линия. Если бы все экспериментальные точки лежали на данной линии, то выполнялось бы условие:

.                                                   (9)

Однако, реально это не так и:

,                                                            (10)

где - невязка.

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Воспользовавшись формулами (8) и (10), найдем невязки.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Для анализа общего качества уравнения регрессии обычно используют множественный коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции):

,                                                             (11)

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации используем функцию Excel =КОРРЕЛ(B2:B6;C2:C6). Коэффициент детерминации получился равным 0,99. Это значение совпадает со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически. Расчет коэффициента детерминации представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Расчет коэффициента детерминации

Значение коэффициента детерминации близко к единице, следовательно, построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. Значит, модель можно использовать для прогноза.

ВЫВОД: определены невязки:

,

,

,

,

.

Невязки могут возникать по двум причинам:

1. из-за ошибок эксперимента;

2. из-за негодности модели.

Для анализа общего качества уравнения регрессии использован множественный коэффициент детерминации (квадрат коэффициента множественной корреляции), .

Для проверки правильности выполнения расчета коэффициента детерминации использована функция Excel. Коэффициент детерминации равен 0,99. Это значение совпало со значением коэффициента детерминации, вычисленным аналитически.

Значение коэффициента детерминации близко к единице, следовательно, построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. Значит, модель можно использовать для прогноза.

3 Метод Асковица

В том случае, если интервал между входными переменными x одинаковый, можно избежать громоздких вычислений и построить прямую регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом.

Для построения выполняется следующая методика:

1. соединяем первую и вторую точку прямой;

2. на данной прямой делаем соответствующую отметку, равную  шага;

3. соединяем прямой отметку с третьей точкой;

4. проходим ещё  шага;

5. делаем отметку на полученной прямой. И так до последней точки, которая будет находиться на прямой метода наименьших квадратов;

6. выполняем аналогичную процедуру с конечных точек, получаем вторую точку прямой метода наименьших квадратов.

Метод Асковица представлен в приложении А.

ВЫВОД: построили прямую регрессии графически методом Асковица, который является точным графическим методом. Прямая регрессии пересекает ось ординат в точке, равной 8,8, которая соответствует значению коэффициента а₀. Это значение совпадает со значением коэффициента а₀, вычисленным аналитически.

Проверка адекватности полученной модели

Адекватность модели, т.е. степень ее соответствия объекту определяется по критерию Фишера. Для этого необходимо выполнить следующие вычисления:

1. Расчет остаточной суммы квадратов

Таблица 3 - Расчет остаточной суммы квадратов

2. Определение степени свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов.

,                                                               (12)

.

3. Расчет значения дисперсии адекватности по формуле (13):

,                                                        (13)

.

4. Определение числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости по формуле (14):

,                                                                 (14)

.

5. Вычисление дисперсии воспроизводимости по формуле (15):

,                                                                 (15)

.

6. Определение для полученных дисперсий величины F – критерия Фишера по формуле (16):

,                                                                     (16)

.

7. Определение по степеням свободы табличного значения критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, F_табл=6,59.

Рассчитанное значение F < F_табл, т.е. оно не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.

ВЫВОД: Провели проверку адекватности модели, т.е. степень ее соответствия объекту, которая определяется по критерию Фишера. Для этого сделаны необходимые вычисления:

1) расчет остаточной суммы квадратов;

2) определена степень свободы дисперсии адекватности, которая равна числу различных опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии, минус число определяемых коэффициентов: ;

3) рассчитаны значение дисперсии адекватности: ;

4) определено число степеней свободы дисперсии воспроизводимости: ;

5) вычислена дисперсия воспроизводимости: ;

6) для полученных дисперсий определена величина F – критерий Фишера:

;

7) по степеням свободы опредено табличное значение критерия Фишера при пятипроцентном уровне значимости, F_табл=6,59. Рассчитанное значение F < F_табл, т.е. рассчитанное значение не превышает табличное и с соответствующей доверительной вероятностью, равной 0.05, полученную модель можно считать адекватной.